home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Sprite 1984 - 1993 / Sprite 1984 - 1993.iso / lib / tex / sqrt.tex / sqrt_ct.html < prev    next >
LaTeX Document  |  1990-12-06  |  11.2 KB

open in: MacOS 8.1     |     Win98     |     DOS

view JSON data     |     view as text

This file was processed as: LaTeX Document (document/latex).

You can browse this item here: sqrt_ct.html

ConfidenceProgramDetectionMatch TypeSupport
100% dexvert LaTeX Document (document/latex) magic Supported
90% dexvert Hypertext Markup Language File (text/html) magic Supported
1% dexvert Text File (text/txt) fallback Supported
100% file HTML document text default (weak)
99% file LaTeX document text default
98% file exported SGML document text default
97% file exported SGML document, ASCII text default
80% TrID HyperText Markup Language with DOCTYPE default
19% TrID HyperText Markup Language default
100% checkBytes Printable ASCII default
100% perlTextCheck Likely Text (Perl) default
100% gt2 HTML (Hyper Text Markup Language) Datei default
100% detectItEasy Format: plain text[LF] default (weak)
100% xdgMime text/html default



hex view
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 3c 21 44 4f 43 54 59 50 | 45 20 48 54 4d 4c 20 50 |<!DOCTYP|E HTML P|
|00000010| 55 42 4c 49 43 20 22 2d | 2f 2f 57 33 43 2f 2f 44 |UBLIC "-|//W3C//D|
|00000020| 54 44 20 48 54 4d 4c 20 | 33 2e 32 20 46 69 6e 61 |TD HTML |3.2 Fina|
|00000030| 6c 2f 2f 65 6e 22 3e 0a | 0a 3c 21 2d 2d 43 6f 6e |l//en">.|.<!--Con|
|00000040| 76 65 72 74 65 64 20 77 | 69 74 68 20 4c 61 54 65 |verted w|ith LaTe|
|00000050| 58 32 48 54 4d 4c 20 32 | 30 32 32 20 28 52 65 6c |X2HTML 2|022 (Rel|
|00000060| 65 61 73 65 64 20 4a 61 | 6e 75 61 72 79 20 31 2c |eased Ja|nuary 1,|
|00000070| 20 32 30 32 32 29 20 2d | 2d 3e 0a 3c 48 54 4d 4c | 2022) -|->.<HTML|
|00000080| 20 6c 61 6e 67 3d 22 65 | 6e 22 3e 0a 3c 48 45 41 | lang="e|n">.<HEA|
|00000090| 44 3e 0a 3c 54 49 54 4c | 45 3e 43 6f 6e 74 65 6e |D>.<TITL|E>Conten|
|000000a0| 74 73 20 6f 66 20 73 71 | 72 74 3c 2f 54 49 54 4c |ts of sq|rt</TITL|
|000000b0| 45 3e 0a 0a 3c 4d 45 54 | 41 20 48 54 54 50 2d 45 |E>..<MET|A HTTP-E|
|000000c0| 51 55 49 56 3d 22 43 6f | 6e 74 65 6e 74 2d 54 79 |QUIV="Co|ntent-Ty|
|000000d0| 70 65 22 20 43 4f 4e 54 | 45 4e 54 3d 22 74 65 78 |pe" CONT|ENT="tex|
|000000e0| 74 2f 68 74 6d 6c 3b 20 | 63 68 61 72 73 65 74 3d |t/html; |charset=|
|000000f0| 75 74 66 2d 38 22 3e 0a | 3c 4d 45 54 41 20 4e 41 |utf-8">.|<META NA|
|00000100| 4d 45 3d 22 76 69 65 77 | 70 6f 72 74 22 20 43 4f |ME="view|port" CO|
|00000110| 4e 54 45 4e 54 3d 22 77 | 69 64 74 68 3d 64 65 76 |NTENT="w|idth=dev|
|00000120| 69 63 65 2d 77 69 64 74 | 68 2c 20 69 6e 69 74 69 |ice-widt|h, initi|
|00000130| 61 6c 2d 73 63 61 6c 65 | 3d 31 2e 30 22 3e 0a 3c |al-scale|=1.0">.<|
|00000140| 4d 45 54 41 20 4e 41 4d | 45 3d 22 47 65 6e 65 72 |META NAM|E="Gener|
|00000150| 61 74 6f 72 22 20 43 4f | 4e 54 45 4e 54 3d 22 4c |ator" CO|NTENT="L|
|00000160| 61 54 65 58 32 48 54 4d | 4c 20 76 32 30 32 32 22 |aTeX2HTM|L v2022"|
|00000170| 3e 0a 0a 3c 4c 49 4e 4b | 20 52 45 4c 3d 22 53 54 |>..<LINK| REL="ST|
|00000180| 59 4c 45 53 48 45 45 54 | 22 20 48 52 45 46 3d 22 |YLESHEET|" HREF="|
|00000190| 73 71 72 74 2e 63 73 73 | 22 3e 0a 0a 3c 2f 48 45 |sqrt.css|">..</HE|
|000001a0| 41 44 3e 0a 20 0a 3c 42 | 4f 44 59 20 62 67 63 6f |AD>. .<B|ODY bgco|
|000001b0| 6c 6f 72 3d 22 23 66 66 | 66 66 66 66 22 20 74 65 |lor="#ff|ffff" te|
|000001c0| 78 74 3d 22 23 30 30 30 | 30 30 30 22 20 6c 69 6e |xt="#000|000" lin|
|000001d0| 6b 3d 22 23 39 39 34 34 | 45 45 22 20 76 6c 69 6e |k="#9944|EE" vlin|
|000001e0| 6b 3d 22 23 30 30 30 30 | 66 66 22 20 61 6c 69 6e |k="#0000|ff" alin|
|000001f0| 6b 3d 22 23 30 30 66 66 | 30 30 22 3e 0a 0a 3c 50 |k="#00ff|00">..<P|
|00000200| 3e 0a 3c 42 52 3e 0a 0a | 3c 46 4f 4e 54 20 53 49 |>.<BR>..|<FONT SI|
|00000210| 5a 45 3d 22 2b 32 22 3e | 3c 42 3e 41 70 70 65 6e |ZE="+2">|<B>Appen|
|00000220| 64 69 78 20 41 20 20 20 | 45 73 74 69 6d 61 74 69 |dix A |Estimati|
|00000230| 6e 67 20 50 79 74 68 61 | 67 6f 72 65 61 6e 20 53 |ng Pytha|gorean S|
|00000240| 71 75 61 72 65 2d 72 6f | 6f 74 3c 2f 42 3e 3c 2f |quare-ro|ot</B></|
|00000250| 46 4f 4e 54 3e 0a 0a 3c | 50 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a |FONT>..<|P>..<P>.|
|00000260| 3c 42 52 3e 0a 46 6f 72 | 20 74 68 65 20 6c 69 6e |<BR>.For| the lin|
|00000270| 65 20 64 72 61 77 69 6e | 67 20 63 6f 6d 6d 61 6e |e drawin|g comman|
|00000280| 64 73 20 64 65 73 63 72 | 69 62 65 64 20 69 6e 20 |ds descr|ibed in |
|00000290| 74 68 65 20 6d 61 69 6e | 20 73 65 63 74 69 6f 6e |the main| section|
|000002a0| 73 20 6f 66 20 74 68 69 | 73 0a 64 6f 63 75 6d 65 |s of thi|s.docume|
|000002b0| 6e 74 2c 20 77 65 20 6e | 65 65 64 20 74 6f 20 65 |nt, we n|eed to e|
|000002c0| 73 74 69 6d 61 74 65 20 | 74 68 65 20 50 79 74 68 |stimate |the Pyth|
|000002d0| 61 67 6f 72 65 61 6e 20 | 73 71 75 61 72 65 2d 72 |agorean |square-r|
|000002e0| 6f 6f 74 20 69 6e 20 6f | 72 64 65 72 20 74 6f 0a |oot in o|rder to.|
|000002f0| 64 65 74 65 72 6d 69 6e | 65 20 74 68 65 20 6c 65 |determin|e the le|
|00000300| 6e 67 74 68 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 6c 69 6e 65 |ngth of |the line|
|00000310| 20 28 61 6c 6f 6e 67 20 | 69 74 73 20 73 6c 6f 70 | (along |its slop|
|00000320| 65 29 2e 20 4d 6f 72 65 | 20 70 72 65 63 69 73 65 |e). More| precise|
|00000330| 6c 79 2c 20 77 65 20 6e | 65 65 64 0a 74 6f 20 65 |ly, we n|eed.to e|
|00000340| 73 74 69 6d 61 74 65 20 | 74 68 65 20 6e 75 6d 62 |stimate |the numb|
|00000350| 65 72 20 6f 66 20 73 65 | 67 6d 65 6e 74 73 20 6f |er of se|gments o|
|00000360| 66 20 61 20 67 69 76 65 | 6e 20 6c 65 6e 67 74 68 |f a give|n length|
|00000370| 20 6e 65 65 64 65 64 20 | 74 6f 20 64 72 61 77 20 | needed |to draw |
|00000380| 61 20 6c 69 6e 65 2e 0a | 54 3c 53 4d 41 4c 4c 3e |a line..|T<SMALL>|
|00000390| 45 3c 2f 53 4d 41 4c 4c | 3e 58 20 64 6f 65 73 20 |E</SMALL|>X does |
|000003a0| 6e 6f 74 20 70 72 6f 76 | 69 64 65 20 66 6f 72 20 |not prov|ide for |
|000003b0| 66 6c 6f 61 74 69 6e 67 | 20 70 6f 69 6e 74 20 63 |floating| point c|
|000003c0| 61 6c 63 75 6c 61 74 69 | 6f 6e 73 2c 20 61 6e 64 |alculati|ons, and|
|000003d0| 20 74 68 75 73 20 74 68 | 65 72 65 20 61 72 65 20 | thus th|ere are |
|000003e0| 6e 6f 0a 64 69 72 65 63 | 74 20 6d 65 61 6e 73 20 |no.direc|t means |
|000003f0| 6f 66 20 63 61 6c 63 75 | 6c 61 74 69 6e 67 20 74 |of calcu|lating t|
|00000400| 68 65 20 61 62 6f 76 65 | 20 73 71 75 61 72 65 2d |he above| square-|
|00000410| 72 6f 6f 74 2e 20 4d 6f | 73 74 20 73 74 61 6e 64 |root. Mo|st stand|
|00000420| 61 72 64 20 6e 75 6d 65 | 72 69 63 61 6c 0a 74 65 |ard nume|rical.te|
|00000430| 63 68 6e 69 71 75 65 73 | 20 61 72 65 20 69 74 65 |chniques| are ite|
|00000440| 72 61 74 69 76 65 20 61 | 6e 64 20 77 6f 75 6c 64 |rative a|nd would|
|00000450| 20 62 65 20 74 6f 6f 20 | 73 6c 6f 77 20 77 68 65 | be too |slow whe|
|00000460| 6e 20 75 73 65 64 20 77 | 69 74 68 20 54 3c 53 4d |n used w|ith T<SM|
|00000470| 41 4c 4c 3e 45 3c 2f 53 | 4d 41 4c 4c 3e 58 20 66 |ALL>E</S|MALL>X f|
|00000480| 6f 72 20 6c 61 63 6b 0a | 6f 66 20 66 6c 6f 61 74 |or lack.|of float|
|00000490| 69 6e 67 20 70 6f 69 6e | 74 20 63 61 6c 63 75 6c |ing poin|t calcul|
|000004a0| 61 74 69 6f 6e 73 2c 20 | 61 6e 64 20 69 6e 20 70 |ations, |and in p|
|000004b0| 61 72 74 69 63 75 6c 61 | 72 2c 20 72 65 61 6c 20 |articula|r, real |
|000004c0| 64 69 76 69 73 69 6f 6e | 2c 20 73 69 6e 63 65 0a |division|, since.|
|000004d0| 63 61 6c 63 75 6c 61 74 | 69 6f 6e 20 6f 66 20 73 |calculat|ion of s|
|000004e0| 75 63 68 20 61 20 73 71 | 75 61 72 65 2d 72 6f 6f |uch a sq|uare-roo|
|000004f0| 74 20 69 73 20 6e 65 65 | 64 65 64 20 76 65 72 79 |t is nee|ded very|
|00000500| 20 66 72 65 71 75 65 6e | 74 6c 79 2e 0a 0a 3c 50 | frequen|tly...<P|
|00000510| 3e 0a 41 20 73 69 6d 70 | 6c 65 20 6e 6f 6e 2d 69 |>.A simp|le non-i|
|00000520| 74 65 72 61 74 69 76 65 | 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 |terative| formula|
|00000530| 20 66 6f 72 20 65 73 74 | 69 6d 61 74 69 6e 67 20 | for est|imating |
|00000540| 74 68 65 20 73 71 75 61 | 72 65 2d 72 6f 6f 74 20 |the squa|re-root |
|00000550| 69 73 20 64 65 72 69 76 | 65 64 20 61 6e 64 0a 64 |is deriv|ed and.d|
|00000560| 65 73 63 72 69 62 65 64 | 20 62 65 6c 6f 77 2e 0a |escribed| below..|
|00000570| 0a 3c 50 3e 0a 0a 3c 50 | 3e 3c 50 3e 0a 3c 42 52 |.<P>..<P|><P>.<BR|
|00000580| 3e 0a 0a 3c 42 3e 50 72 | 6f 62 6c 65 6d 3a 20 3c |>..<B>Pr|oblem: <|
|00000590| 2f 42 3e 20 47 69 76 65 | 6e 20 3c 49 3e 61 3c 2f |/B> Give|n <I>a</|
|000005a0| 49 3e 20 61 6e 64 20 3c | 49 3e 62 3c 2f 49 3e 2c |I> and <|I>b</I>,|
|000005b0| 20 74 6f 20 66 69 6e 64 | 20 3c 49 3e 63 3c 2f 49 | to find| <I>c</I|
|000005c0| 3e 20 3d 20 3c 21 2d 2d | 20 4d 41 54 48 0a 20 24 |> = <!--| MATH. $|
|000005d0| 5c 73 71 72 74 7b 61 5e | 32 20 2b 20 62 5e 32 7d |\sqrt{a^|2 + b^2}|
|000005e0| 24 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c | 49 4d 47 0a 20 53 54 59 |$. -->.<|IMG. STY|
|000005f0| 4c 45 3d 22 68 65 69 67 | 68 74 3a 20 31 39 36 2e |LE="heig|ht: 196.|
|00000600| 32 35 65 78 3b 20 76 65 | 72 74 69 63 61 6c 2d 61 |25ex; ve|rtical-a|
|00000610| 6c 69 67 6e 3a 20 2d 30 | 2e 34 31 65 78 3b 20 22 |lign: -0|.41ex; "|
|00000620| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 31 2e 70 6e 67 22 0a | SRC="im|g1.png".|
|00000630| 20 41 4c 54 3d 22 24 5c | 73 71 72 74 7b 7b 61 5e | ALT="$\|sqrt{{a^|
|00000640| 32 20 2b 20 62 5e 32 7d | 7d 24 22 3e 20 75 73 69 |2 + b^2}|}$"> usi|
|00000650| 6e 67 0a 6f 6e 6c 79 20 | 6f 70 65 72 61 74 69 6f |ng.only |operatio|
|00000660| 6e 73 20 69 6e 20 7b 2b | 20 2c 20 2d 20 2c 2a 2c |ns in {+| , - ,*,|
|00000670| 2f 7d 2e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 57 65 20 63 61 6e 20 |/}...<P>|.We can |
|00000680| 67 65 74 20 76 65 72 79 | 20 74 69 67 68 74 20 62 |get very| tight b|
|00000690| 6f 75 6e 64 73 20 6f 6e | 20 74 68 65 20 73 71 75 |ounds on| the squ|
|000006a0| 61 72 65 2d 72 6f 6f 74 | 20 61 73 20 66 6f 6c 6c |are-root| as foll|
|000006b0| 6f 77 73 2e 0a 57 69 74 | 68 6f 75 74 20 6c 6f 73 |ows..Wit|hout los|
|000006c0| 73 20 6f 66 20 67 65 6e | 65 72 61 6c 69 74 79 2c |s of gen|erality,|
|000006d0| 20 6c 65 74 20 3c 49 3e | 61 3c 2f 49 3e 26 23 38 | let <I>|a</I>&#8|
|000006e0| 38 30 35 3b 3c 49 3e 62 | 3c 2f 49 3e 2e 20 57 65 |805;<I>b|</I>. We|
|000006f0| 20 73 65 65 6b 20 61 20 | 73 69 6d 70 6c 65 20 3c | seek a |simple <|
|00000700| 49 3e 6e 3c 2f 49 3e 0a | 73 75 63 68 20 74 68 61 |I>n</I>.|such tha|
|00000710| 74 3a 0a 3c 50 3e 3c 21 | 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a |t:.<P><!|-- MATH.|
|00000720| 20 5c 62 65 67 69 6e 7b | 64 69 73 70 6c 61 79 6d | \begin{|displaym|
|00000730| 61 74 68 7d 0a 5c 73 71 | 72 74 7b 61 5e 32 20 2b |ath}.\sq|rt{a^2 +|
|00000740| 20 62 5e 32 7d 20 5c 67 | 65 20 61 20 2b 20 5c 66 | b^2} \g|e a + \f|
|00000750| 72 61 63 7b 62 7d 7b 6e | 7d 0a 5c 65 6e 64 7b 64 |rac{b}{n|}.\end{d|
|00000760| 69 73 70 6c 61 79 6d 61 | 74 68 7d 0a 20 2d 2d 3e |isplayma|th}. -->|
|00000770| 0a 3c 2f 50 3e 0a 3c 44 | 49 56 20 41 4c 49 47 4e |.</P>.<D|IV ALIGN|
|00000780| 3d 22 43 45 4e 54 45 52 | 22 3e 0a 3c 49 4d 47 0a |="CENTER|">.<IMG.|
|00000790| 20 53 54 59 4c 45 3d 22 | 68 65 69 67 68 74 3a 20 | STYLE="|height: |
|000007a0| 32 2e 33 38 65 78 3b 20 | 76 65 72 74 69 63 61 6c |2.38ex; |vertical|
|000007b0| 2d 61 6c 69 67 6e 3a 20 | 31 37 36 2e 34 34 65 78 |-align: |176.44ex|
|000007c0| 3b 20 22 20 53 52 43 3d | 22 69 6d 67 32 2e 70 6e |; " SRC=|"img2.pn|
|000007d0| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 24 5c 64 69 73 70 6c |g". ALT=|"$\displ|
|000007e0| 61 79 73 74 79 6c 65 20 | 5c 73 71 72 74 7b 7b 61 |aystyle |\sqrt{{a|
|000007f0| 5e 32 20 2b 20 62 5e 32 | 7d 7d 24 22 3e 26 23 38 |^2 + b^2|}}$">&#8|
|00000800| 38 30 35 3b 3c 49 3e 61 | 3c 2f 49 3e 20 2b 20 3c |805;<I>a|</I> + <|
|00000810| 49 4d 47 0a 20 53 54 59 | 4c 45 3d 22 68 65 69 67 |IMG. STY|LE="heig|
|00000820| 68 74 3a 20 32 2e 38 37 | 65 78 3b 20 76 65 72 74 |ht: 2.87|ex; vert|
|00000830| 69 63 61 6c 2d 61 6c 69 | 67 6e 3a 20 31 37 34 2e |ical-ali|gn: 174.|
|00000840| 37 37 65 78 3b 20 22 20 | 53 52 43 3d 22 69 6d 67 |77ex; " |SRC="img|
|00000850| 33 2e 70 6e 67 22 0a 20 | 41 4c 54 3d 22 24 5c 64 |3.png". |ALT="$\d|
|00000860| 69 73 70 6c 61 79 73 74 | 79 6c 65 20 7b 5c 66 72 |isplayst|yle {\fr|
|00000870| 61 63 7b 7b 62 7d 7d 7b | 7b 6e 7d 7d 7d 24 22 3e |ac{{b}}{|{n}}}$">|
|00000880| 0a 3c 2f 44 49 56 3e 3c | 50 3e 3c 2f 50 3e 0a 0a |.</DIV><|P></P>..|
|00000890| 3c 50 3e 0a 53 71 75 61 | 72 69 6e 67 20 62 6f 74 |<P>.Squa|ring bot|
|000008a0| 68 20 73 69 64 65 73 2c | 20 77 65 20 68 61 76 65 |h sides,| we have|
|000008b0| 0a 3c 50 3e 3c 21 2d 2d | 20 4d 41 54 48 0a 20 5c |.<P><!--| MATH. \|
|000008c0| 62 65 67 69 6e 7b 64 69 | 73 70 6c 61 79 6d 61 74 |begin{di|splaymat|
|000008d0| 68 7d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d |h}.\begi|n{array}|
|000008e0| 7b 6c 72 63 6c 7d 0a 5c | 4c 65 66 74 72 69 67 68 |{lrcl}.\|Leftrigh|
|000008f0| 74 61 72 72 6f 77 20 26 | 20 61 5e 32 2b 62 5e 32 |tarrow &| a^2+b^2|
|00000900| 20 26 5c 67 65 26 20 61 | 5e 32 20 2b 20 5c 64 69 | &\ge& a|^2 + \di|
|00000910| 73 70 6c 61 79 73 74 79 | 6c 65 5c 66 72 61 63 7b |splaysty|le\frac{|
|00000920| 62 5e 32 7d 7b 6e 5e 32 | 7d 20 2b 0a 5c 64 69 73 |b^2}{n^2|} +.\dis|
|00000930| 70 6c 61 79 73 74 79 6c | 65 5c 66 72 61 63 7b 32 |playstyl|e\frac{2|
|00000940| 61 62 7d 7b 6e 7d 20 5c | 5c 5b 32 6d 6d 5d 0a 5c |ab}{n} \|\[2mm].\|
|00000950| 4c 65 66 74 72 69 67 68 | 74 61 72 72 6f 77 20 26 |Leftrigh|tarrow &|
|00000960| 20 28 31 20 2d 20 5c 64 | 69 73 70 6c 61 79 73 74 | (1 - \d|isplayst|
|00000970| 79 6c 65 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 6e 5e 32 7d |yle\frac|{1}{n^2}|
|00000980| 29 20 62 5e 32 20 26 5c | 67 65 26 0a 5c 64 69 73 |) b^2 &\|ge&.\dis|
|00000990| 70 6c 61 79 73 74 79 6c | 65 5c 66 72 61 63 7b 32 |playstyl|e\frac{2|
|000009a0| 61 62 7d 7b 6e 7d 5c 5c | 5b 32 6d 6d 5d 0a 5c 4c |ab}{n}\\|[2mm].\L|
|000009b0| 65 66 74 72 69 67 68 74 | 61 72 72 6f 77 20 26 20 |eftright|arrow & |
|000009c0| 5c 64 69 73 70 6c 61 79 | 73 74 79 6c 65 5c 66 72 |\display|style\fr|
|000009d0| 61 63 7b 62 7d 7b 61 7d | 20 26 5c 67 65 26 20 5c |ac{b}{a}| &\ge& \|
|000009e0| 64 69 73 70 6c 61 79 73 | 74 79 6c 65 5c 66 72 61 |displays|tyle\fra|
|000009f0| 63 7b 32 6e 7d 7b 28 6e | 5e 32 0a 2d 31 29 7d 5c |c{2n}{(n|^2.-1)}\|
|00000a00| 5c 5b 32 6d 6d 5d 0a 5c | 6d 62 6f 78 7b 6f 72 20 |\[2mm].\|mbox{or |
|00000a10| 7d 20 20 20 20 20 20 26 | 20 28 5c 64 69 73 70 6c |} &| (\displ|
|00000a20| 61 79 73 74 79 6c 65 5c | 66 72 61 63 7b 62 7d 7b |aystyle\|frac{b}{|
|00000a30| 61 7d 29 6e 5e 32 20 2d | 20 32 6e 20 2d 28 5c 64 |a})n^2 -| 2n -(\d|
|00000a40| 69 73 70 6c 61 79 73 74 | 79 6c 65 5c 66 72 61 63 |isplayst|yle\frac|
|00000a50| 7b 62 7d 7b 61 7d 29 20 | 26 5c 67 65 26 20 30 0a |{b}{a}) |&\ge& 0.|
|00000a60| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 5c 68 66 69 6c |\end{arr|ay}\hfil|
|00000a70| 6c 0a 5c 65 6e 64 7b 64 | 69 73 70 6c 61 79 6d 61 |l.\end{d|isplayma|
|00000a80| 74 68 7d 0a 20 2d 2d 3e | 0a 3c 2f 50 3e 0a 3c 44 |th}. -->|.</P>.<D|
|00000a90| 49 56 20 41 4c 49 47 4e | 3d 22 43 45 4e 54 45 52 |IV ALIGN|="CENTER|
|00000aa0| 22 3e 0a 3c 54 41 42 4c | 45 3e 0a 3c 54 52 20 56 |">.<TABL|E>.<TR V|
|00000ab0| 41 4c 49 47 4e 3d 22 4d | 49 44 44 4c 45 22 3e 3c |ALIGN="M|IDDLE"><|
|00000ac0| 54 44 20 41 4c 49 47 4e | 3d 22 4c 45 46 54 22 3e |TD ALIGN|="LEFT">|
|00000ad0| 26 23 38 36 36 30 3b 3c | 2f 54 44 3e 0a 3c 54 44 |&#8660;<|/TD>.<TD|
|00000ae0| 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 | 52 49 47 48 54 22 3e 3c | ALIGN="|RIGHT"><|
|00000af0| 49 3e 61 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 50 3e 32 3c 2f 53 |I>a</I><|SUP>2</S|
|00000b00| 55 50 3e 20 2b 20 3c 49 | 3e 62 3c 2f 49 3e 3c 53 |UP> + <I|>b</I><S|
|00000b10| 55 50 3e 32 3c 2f 53 55 | 50 3e 3c 2f 54 44 3e 0a |UP>2</SU|P></TD>.|
|00000b20| 3c 54 44 20 41 4c 49 47 | 4e 3d 22 43 45 4e 54 45 |<TD ALIG|N="CENTE|
|00000b30| 52 22 3e 26 23 38 38 30 | 35 3b 3c 2f 54 44 3e 0a |R">&#880|5;</TD>.|
|00000b40| 3c 54 44 20 41 4c 49 47 | 4e 3d 22 4c 45 46 54 22 |<TD ALIG|N="LEFT"|
|00000b50| 3e 3c 49 3e 61 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 50 3e 32 3c |><I>a</I|><SUP>2<|
|00000b60| 2f 53 55 50 3e 20 2b 20 | 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 |/SUP> + |<IMG. ST|
|00000b70| 59 4c 45 3d 22 68 65 69 | 67 68 74 3a 20 34 2e 38 |YLE="hei|ght: 4.8|
|00000b80| 33 65 78 3b 20 76 65 72 | 74 69 63 61 6c 2d 61 6c |3ex; ver|tical-al|
|00000b90| 69 67 6e 3a 20 31 37 32 | 2e 38 31 65 78 3b 20 22 |ign: 172|.81ex; "|
|00000ba0| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 34 2e 70 6e 67 22 0a | SRC="im|g4.png".|
|00000bb0| 20 41 4c 54 3d 22 24 5c | 64 69 73 70 6c 61 79 73 | ALT="$\|displays|
|00000bc0| 74 79 6c 65 20 7b 5c 66 | 72 61 63 7b 7b 62 5e 32 |tyle {\f|rac{{b^2|
|00000bd0| 7d 7d 7b 7b 6e 5e 32 7d | 7d 7d 24 22 3e 20 2b 20 |}}{{n^2}|}}$"> + |
|00000be0| 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 | 59 4c 45 3d 22 68 65 69 |<IMG. ST|YLE="hei|
|00000bf0| 67 68 74 3a 20 35 2e 31 | 38 65 78 3b 20 76 65 72 |ght: 5.1|8ex; ver|
|00000c00| 74 69 63 61 6c 2d 61 6c | 69 67 6e 3a 20 31 37 32 |tical-al|ign: 172|
|00000c10| 2e 35 33 65 78 3b 20 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |.53ex; "| SRC="im|
|00000c20| 67 35 2e 70 6e 67 22 0a | 20 41 4c 54 3d 22 24 5c |g5.png".| ALT="$\|
|00000c30| 64 69 73 70 6c 61 79 73 | 74 79 6c 65 20 7b 5c 66 |displays|tyle {\f|
|00000c40| 72 61 63 7b 7b 32 61 62 | 7d 7d 7b 7b 6e 7d 7d 7d |rac{{2ab|}}{{n}}}|
|00000c50| 24 22 3e 3c 2f 54 44 3e | 0a 3c 2f 54 52 3e 0a 3c |$"></TD>|.</TR>.<|
|00000c60| 54 52 20 56 41 4c 49 47 | 4e 3d 22 4d 49 44 44 4c |TR VALIG|N="MIDDL|
|00000c70| 45 22 3e 3c 54 44 20 41 | 4c 49 47 4e 3d 22 4c 45 |E"><TD A|LIGN="LE|
|00000c80| 46 54 22 3e 26 23 38 36 | 36 30 3b 3c 2f 54 44 3e |FT">&#86|60;</TD>|
|00000c90| 0a 3c 54 44 20 41 4c 49 | 47 4e 3d 22 52 49 47 48 |.<TD ALI|GN="RIGH|
|00000ca0| 54 22 3e 28 31 20 2d 20 | 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 |T">(1 - |<IMG. ST|
|00000cb0| 59 4c 45 3d 22 68 65 69 | 67 68 74 3a 20 34 2e 38 |YLE="hei|ght: 4.8|
|00000cc0| 33 65 78 3b 20 76 65 72 | 74 69 63 61 6c 2d 61 6c |3ex; ver|tical-al|
|00000cd0| 69 67 6e 3a 20 31 37 32 | 2e 38 31 65 78 3b 20 22 |ign: 172|.81ex; "|
|00000ce0| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 36 2e 70 6e 67 22 0a | SRC="im|g6.png".|
|00000cf0| 20 41 4c 54 3d 22 24 5c | 64 69 73 70 6c 61 79 73 | ALT="$\|displays|
|00000d00| 74 79 6c 65 20 7b 5c 66 | 72 61 63 7b 7b 31 7d 7d |tyle {\f|rac{{1}}|
|00000d10| 7b 7b 6e 5e 32 7d 7d 7d | 24 22 3e 29 3c 49 3e 62 |{{n^2}}}|$">)<I>b|
|00000d20| 3c 2f 49 3e 3c 53 55 50 | 3e 32 3c 2f 53 55 50 3e |</I><SUP|>2</SUP>|
|00000d30| 3c 2f 54 44 3e 0a 3c 54 | 44 20 41 4c 49 47 4e 3d |</TD>.<T|D ALIGN=|
|00000d40| 22 43 45 4e 54 45 52 22 | 3e 26 23 38 38 30 35 3b |"CENTER"|>&#8805;|
|00000d50| 3c 2f 54 44 3e 0a 3c 54 | 44 20 41 4c 49 47 4e 3d |</TD>.<T|D ALIGN=|
|00000d60| 22 4c 45 46 54 22 3e 3c | 49 4d 47 0a 20 53 54 59 |"LEFT"><|IMG. STY|
|00000d70| 4c 45 3d 22 68 65 69 67 | 68 74 3a 20 35 2e 31 38 |LE="heig|ht: 5.18|
|00000d80| 65 78 3b 20 76 65 72 74 | 69 63 61 6c 2d 61 6c 69 |ex; vert|ical-ali|
|00000d90| 67 6e 3a 20 31 37 32 2e | 35 33 65 78 3b 20 22 20 |gn: 172.|53ex; " |
|00000da0| 53 52 43 3d 22 69 6d 67 | 35 2e 70 6e 67 22 0a 20 |SRC="img|5.png". |
|00000db0| 41 4c 54 3d 22 24 5c 64 | 69 73 70 6c 61 79 73 74 |ALT="$\d|isplayst|
|00000dc0| 79 6c 65 20 7b 5c 66 72 | 61 63 7b 7b 32 61 62 7d |yle {\fr|ac{{2ab}|
|00000dd0| 7d 7b 7b 6e 7d 7d 7d 24 | 22 3e 3c 2f 54 44 3e 0a |}{{n}}}$|"></TD>.|
|00000de0| 3c 2f 54 52 3e 0a 3c 54 | 52 20 56 41 4c 49 47 4e |</TR>.<T|R VALIGN|
|00000df0| 3d 22 4d 49 44 44 4c 45 | 22 3e 3c 54 44 20 41 4c |="MIDDLE|"><TD AL|
|00000e00| 49 47 4e 3d 22 4c 45 46 | 54 22 3e 26 23 38 36 36 |IGN="LEF|T">&#866|
|00000e10| 30 3b 3c 2f 54 44 3e 0a | 3c 54 44 20 41 4c 49 47 |0;</TD>.|<TD ALIG|
|00000e20| 4e 3d 22 52 49 47 48 54 | 22 3e 3c 49 4d 47 0a 20 |N="RIGHT|"><IMG. |
|00000e30| 53 54 59 4c 45 3d 22 68 | 65 69 67 68 74 3a 20 34 |STYLE="h|eight: 4|
|00000e40| 2e 38 33 65 78 3b 20 76 | 65 72 74 69 63 61 6c 2d |.83ex; v|ertical-|
|00000e50| 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 | 37 32 2e 39 35 65 78 3b |align: 1|72.95ex;|
|00000e60| 20 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 37 2e 70 6e 67 | " SRC="|img7.png|
|00000e70| 22 0a 20 41 4c 54 3d 22 | 24 5c 64 69 73 70 6c 61 |". ALT="|$\displa|
|00000e80| 79 73 74 79 6c 65 20 7b | 5c 66 72 61 63 7b 7b 62 |ystyle {|\frac{{b|
|00000e90| 7d 7d 7b 7b 61 7d 7d 7d | 24 22 3e 3c 2f 54 44 3e |}}{{a}}}|$"></TD>|
|00000ea0| 0a 3c 54 44 20 41 4c 49 | 47 4e 3d 22 43 45 4e 54 |.<TD ALI|GN="CENT|
|00000eb0| 45 52 22 3e 26 23 38 38 | 30 35 3b 3c 2f 54 44 3e |ER">&#88|05;</TD>|
|00000ec0| 0a 3c 54 44 20 41 4c 49 | 47 4e 3d 22 4c 45 46 54 |.<TD ALI|GN="LEFT|
|00000ed0| 22 3e 3c 49 4d 47 0a 20 | 53 54 59 4c 45 3d 22 68 |"><IMG. |STYLE="h|
|00000ee0| 65 69 67 68 74 3a 20 34 | 2e 38 33 65 78 3b 20 76 |eight: 4|.83ex; v|
|00000ef0| 65 72 74 69 63 61 6c 2d | 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 |ertical-|align: 1|
|00000f00| 37 32 2e 32 33 65 78 3b | 20 22 20 53 52 43 3d 22 |72.23ex;| " SRC="|
|00000f10| 69 6d 67 38 2e 70 6e 67 | 22 0a 20 41 4c 54 3d 22 |img8.png|". ALT="|
|00000f20| 24 5c 64 69 73 70 6c 61 | 79 73 74 79 6c 65 20 7b |$\displa|ystyle {|
|00000f30| 5c 66 72 61 63 7b 7b 32 | 6e 7d 7d 7b 7b 28 6e 5e |\frac{{2|n}}{{(n^|
|00000f40| 32 0a 2d 31 29 7d 7d 7d | 24 22 3e 3c 2f 54 44 3e |2.-1)}}}|$"></TD>|
|00000f50| 0a 3c 2f 54 52 3e 0a 3c | 54 52 20 56 41 4c 49 47 |.</TR>.<|TR VALIG|
|00000f60| 4e 3d 22 4d 49 44 44 4c | 45 22 3e 3c 54 44 20 41 |N="MIDDL|E"><TD A|
|00000f70| 4c 49 47 4e 3d 22 4c 45 | 46 54 22 3e 6f 72 20 3c |LIGN="LE|FT">or <|
|00000f80| 2f 54 44 3e 0a 3c 54 44 | 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 |/TD>.<TD| ALIGN="|
|00000f90| 52 49 47 48 54 22 3e 28 | 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 |RIGHT">(|<IMG. ST|
|00000fa0| 59 4c 45 3d 22 68 65 69 | 67 68 74 3a 20 34 2e 38 |YLE="hei|ght: 4.8|
|00000fb0| 33 65 78 3b 20 76 65 72 | 74 69 63 61 6c 2d 61 6c |3ex; ver|tical-al|
|00000fc0| 69 67 6e 3a 20 31 37 32 | 2e 39 35 65 78 3b 20 22 |ign: 172|.95ex; "|
|00000fd0| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 37 2e 70 6e 67 22 0a | SRC="im|g7.png".|
|00000fe0| 20 41 4c 54 3d 22 24 5c | 64 69 73 70 6c 61 79 73 | ALT="$\|displays|
|00000ff0| 74 79 6c 65 20 7b 5c 66 | 72 61 63 7b 7b 62 7d 7d |tyle {\f|rac{{b}}|
|00001000| 7b 7b 61 7d 7d 7d 24 22 | 3e 29 3c 49 3e 6e 3c 2f |{{a}}}$"|>)<I>n</|
|00001010| 49 3e 3c 53 55 50 3e 32 | 3c 2f 53 55 50 3e 20 2d |I><SUP>2|</SUP> -|
|00001020| 32 3c 49 3e 6e 3c 2f 49 | 3e 20 2d 20 28 3c 49 4d |2<I>n</I|> - (<IM|
|00001030| 47 0a 20 53 54 59 4c 45 | 3d 22 68 65 69 67 68 74 |G. STYLE|="height|
|00001040| 3a 20 34 2e 38 33 65 78 | 3b 20 76 65 72 74 69 63 |: 4.83ex|; vertic|
|00001050| 61 6c 2d 61 6c 69 67 6e | 3a 20 31 37 32 2e 39 35 |al-align|: 172.95|
|00001060| 65 78 3b 20 22 20 53 52 | 43 3d 22 69 6d 67 37 2e |ex; " SR|C="img7.|
|00001070| 70 6e 67 22 0a 20 41 4c | 54 3d 22 24 5c 64 69 73 |png". AL|T="$\dis|
|00001080| 70 6c 61 79 73 74 79 6c | 65 20 7b 5c 66 72 61 63 |playstyl|e {\frac|
|00001090| 7b 7b 62 7d 7d 7b 7b 61 | 7d 7d 7d 24 22 3e 29 3c |{{b}}{{a|}}}$">)<|
|000010a0| 2f 54 44 3e 0a 3c 54 44 | 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 |/TD>.<TD| ALIGN="|
|000010b0| 43 45 4e 54 45 52 22 3e | 26 23 38 38 30 35 3b 3c |CENTER">|&#8805;<|
|000010c0| 2f 54 44 3e 0a 3c 54 44 | 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 |/TD>.<TD| ALIGN="|
|000010d0| 4c 45 46 54 22 3e 30 3c | 2f 54 44 3e 0a 3c 2f 54 |LEFT">0<|/TD>.</T|
|000010e0| 52 3e 0a 3c 2f 54 41 42 | 4c 45 3e 0a 3c 2f 44 49 |R>.</TAB|LE>.</DI|
|000010f0| 56 3e 3c 50 3e 3c 2f 50 | 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a 26 |V><P></P|>..<P>.&|
|00001100| 67 74 3b 46 72 6f 6d 20 | 74 68 65 20 71 75 61 64 |gt;From |the quad|
|00001110| 72 61 74 69 63 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 61 |ratic eq|uation a|
|00001120| 62 6f 76 65 2c 20 77 65 | 20 66 69 6e 61 6c 6c 79 |bove, we| finally|
|00001130| 20 67 65 74 20 61 6e 20 | 65 78 70 72 65 73 73 69 | get an |expressi|
|00001140| 6f 6e 20 66 6f 72 20 3c | 49 3e 6e 3c 2f 49 3e 2c |on for <|I>n</I>,|
|00001150| 0a 3c 50 3e 3c 21 2d 2d | 20 4d 41 54 48 0a 20 5c |.<P><!--| MATH. \|
|00001160| 62 65 67 69 6e 7b 64 69 | 73 70 6c 61 79 6d 61 74 |begin{di|splaymat|
|00001170| 68 7d 0a 6e 20 5c 3b 3d | 5c 3b 20 5c 66 72 61 63 |h}.n \;=|\; \frac|
|00001180| 7b 32 20 5c 70 6d 20 5c | 73 71 72 74 7b 34 20 2b |{2 \pm \|sqrt{4 +|
|00001190| 20 34 28 5c 66 72 61 63 | 7b 62 7d 7b 61 7d 29 5e | 4(\frac|{b}{a})^|
|000011a0| 32 7d 7d 7b 5c 66 72 61 | 63 7b 32 62 7d 7b 61 7d |2}}{\fra|c{2b}{a}|
|000011b0| 7d 0a 20 20 20 20 20 20 | 5c 3b 3d 5c 3b 20 5c 66 |}. |\;=\; \f|
|000011c0| 72 61 63 7b 31 20 5c 70 | 6d 20 5c 73 71 72 74 7b |rac{1 \p|m \sqrt{|
|000011d0| 31 20 2b 20 28 5c 66 72 | 61 63 7b 62 7d 7b 61 7d |1 + (\fr|ac{b}{a}|
|000011e0| 29 5e 32 7d 7d 7b 5c 66 | 72 61 63 7b 62 7d 7b 61 |)^2}}{\f|rac{b}{a|
|000011f0| 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 7b | 64 69 73 70 6c 61 79 6d |}}.\end{|displaym|
|00001200| 61 74 68 7d 0a 20 2d 2d | 3e 0a 3c 2f 50 3e 0a 3c |ath}. --|>.</P>.<|
|00001210| 44 49 56 20 41 4c 49 47 | 4e 3d 22 43 45 4e 54 45 |DIV ALIG|N="CENTE|
|00001220| 52 22 3e 0a 3c 49 3e 6e | 3c 2f 49 3e 20 26 6e 62 |R">.<I>n|</I> &nb|
|00001230| 73 70 3b 20 3d 20 26 6e | 62 73 70 3b 3c 49 4d 47 |sp; = &n|bsp;<IMG|
|00001240| 0a 20 53 54 59 4c 45 3d | 22 68 65 69 67 68 74 3a |. STYLE=|"height:|
|00001250| 20 35 2e 33 39 65 78 3b | 20 76 65 72 74 69 63 61 | 5.39ex;| vertica|
|00001260| 6c 2d 61 6c 69 67 6e 3a | 20 31 37 31 2e 34 30 65 |l-align:| 171.40e|
|00001270| 78 3b 20 22 20 53 52 43 | 3d 22 69 6d 67 39 2e 70 |x; " SRC|="img9.p|
|00001280| 6e 67 22 0a 20 41 4c 54 | 3d 22 24 5c 64 69 73 70 |ng". ALT|="$\disp|
|00001290| 6c 61 79 73 74 79 6c 65 | 20 7b 5c 66 72 61 63 7b |laystyle| {\frac{|
|000012a0| 7b 32 20 5c 70 6d 20 5c | 73 71 72 74 7b 34 20 2b |{2 \pm \|sqrt{4 +|
|000012b0| 20 34 28 5c 66 72 61 63 | 7b 62 7d 7b 61 7d 29 5e | 4(\frac|{b}{a})^|
|000012c0| 32 7d 7d 7d 7b 7b 5c 66 | 72 61 63 7b 32 62 7d 7b |2}}}{{\f|rac{2b}{|
|000012d0| 61 7d 7d 7d 7d 24 22 3e | 20 26 6e 62 73 70 3b 20 |a}}}}$">| &nbsp; |
|000012e0| 3d 20 26 6e 62 73 70 3b | 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 |= &nbsp;|<IMG. ST|
|000012f0| 59 4c 45 3d 22 68 65 69 | 67 68 74 3a 20 37 2e 38 |YLE="hei|ght: 7.8|
|00001300| 33 65 78 3b 20 76 65 72 | 74 69 63 61 6c 2d 61 6c |3ex; ver|tical-al|
|00001310| 69 67 6e 3a 20 31 36 38 | 2e 38 31 65 78 3b 20 22 |ign: 168|.81ex; "|
|00001320| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 31 30 2e 70 6e 67 22 | SRC="im|g10.png"|
|00001330| 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 | 5c 64 69 73 70 6c 61 79 |. ALT="$|\display|
|00001340| 73 74 79 6c 65 20 7b 5c | 66 72 61 63 7b 7b 31 20 |style {\|frac{{1 |
|00001350| 5c 70 6d 20 5c 73 71 72 | 74 7b 31 20 2b 20 28 5c |\pm \sqr|t{1 + (\|
|00001360| 66 72 61 63 7b 62 7d 7b | 61 7d 29 5e 32 7d 7d 7d |frac{b}{|a})^2}}}|
|00001370| 7b 7b 5c 66 72 61 63 7b | 62 7d 7b 61 7d 7d 7d 7d |{{\frac{|b}{a}}}}|
|00001380| 24 22 3e 0a 3c 2f 44 49 | 56 3e 3c 50 3e 3c 2f 50 |$">.</DI|V><P></P|
|00001390| 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a 4f | 6e 6c 79 20 74 68 65 20 |>..<P>.O|nly the |
|000013a0| 2b 76 65 20 72 6f 6f 74 | 20 69 6e 74 65 72 65 73 |+ve root| interes|
|000013b0| 74 73 20 75 73 20 73 69 | 6e 63 65 20 3c 49 3e 6e |ts us si|nce <I>n|
|000013c0| 3c 2f 49 3e 20 68 61 73 | 20 74 6f 20 62 65 20 70 |</I> has| to be p|
|000013d0| 6f 73 69 74 69 76 65 2e | 0a 4e 6f 74 65 20 74 68 |ositive.|.Note th|
|000013e0| 61 74 20 74 68 65 20 74 | 65 72 6d 20 75 6e 64 65 |at the t|erm unde|
|000013f0| 72 20 74 68 65 20 72 6f | 6f 74 20 69 73 20 20 62 |r the ro|ot is b|
|00001400| 6f 75 6e 64 65 64 20 61 | 62 6f 76 65 20 61 6e 64 |ounded a|bove and|
|00001410| 20 62 65 6c 6f 77 20 28 | 73 69 6e 63 65 0a 3c 21 | below (|since.<!|
|00001420| 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a | 20 24 5c 66 72 61 63 7b |-- MATH.| $\frac{|
|00001430| 62 7d 7b 61 7d 20 5c 6c | 65 20 31 24 0a 20 2d 2d |b}{a} \l|e 1$. --|
|00001440| 3e 0a 3c 49 4d 47 0a 20 | 53 54 59 4c 45 3d 22 68 |>.<IMG. |STYLE="h|
|00001450| 65 69 67 68 74 3a 20 37 | 2e 38 33 65 78 3b 20 76 |eight: 7|.83ex; v|
|00001460| 65 72 74 69 63 61 6c 2d | 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 |ertical-|align: 1|
|00001470| 37 30 2e 36 30 65 78 3b | 20 22 20 53 52 43 3d 22 |70.60ex;| " SRC="|
|00001480| 69 6d 67 31 31 2e 70 6e | 67 22 0a 20 41 4c 54 3d |img11.pn|g". ALT=|
|00001490| 22 24 7b 5c 66 72 61 63 | 7b 7b 62 7d 7d 7b 7b 61 |"${\frac|{{b}}{{a|
|000014a0| 7d 7d 7d 24 22 3e 26 23 | 38 38 30 34 3b 31 29 3a |}}}$">&#|8804;1):|
|000014b0| 0a 3c 50 3e 3c 21 2d 2d | 20 4d 41 54 48 0a 20 5c |.<P><!--| MATH. \|
|000014c0| 62 65 67 69 6e 7b 64 69 | 73 70 6c 61 79 6d 61 74 |begin{di|splaymat|
|000014d0| 68 7d 0a 31 20 5c 3b 5c | 6c 65 5c 3b 20 5c 73 71 |h}.1 \;\|le\; \sq|
|000014e0| 72 74 7b 31 20 2b 20 28 | 5c 66 72 61 63 7b 62 7d |rt{1 + (|\frac{b}|
|000014f0| 7b 61 7d 29 5e 32 7d 20 | 5c 3b 5c 6c 65 5c 3b 20 |{a})^2} |\;\le\; |
|00001500| 5c 73 71 72 74 7b 32 7d | 0a 5c 65 6e 64 7b 64 69 |\sqrt{2}|.\end{di|
|00001510| 73 70 6c 61 79 6d 61 74 | 68 7d 0a 20 2d 2d 3e 0a |splaymat|h}. -->.|
|00001520| 3c 2f 50 3e 0a 3c 44 49 | 56 20 41 4c 49 47 4e 3d |</P>.<DI|V ALIGN=|
|00001530| 22 43 45 4e 54 45 52 22 | 3e 0a 31 20 26 6e 62 73 |"CENTER"|>.1 &nbs|
|00001540| 70 3b 26 23 38 38 30 34 | 3b 20 26 6e 62 73 70 3b |p;&#8804|; &nbsp;|
|00001550| 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 | 59 4c 45 3d 22 68 65 69 |<IMG. ST|YLE="hei|
|00001560| 67 68 74 3a 20 32 2e 39 | 34 65 78 3b 20 76 65 72 |ght: 2.9|4ex; ver|
|00001570| 74 69 63 61 6c 2d 61 6c | 69 67 6e 3a 20 31 37 34 |tical-al|ign: 174|
|00001580| 2e 35 39 65 78 3b 20 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |.59ex; "| SRC="im|
|00001590| 67 31 32 2e 70 6e 67 22 | 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 |g12.png"|. ALT="$|
|000015a0| 5c 64 69 73 70 6c 61 79 | 73 74 79 6c 65 20 5c 73 |\display|style \s|
|000015b0| 71 72 74 7b 7b 31 20 2b | 20 28 5c 66 72 61 63 7b |qrt{{1 +| (\frac{|
|000015c0| 62 7d 7b 61 7d 29 5e 32 | 7d 7d 24 22 3e 20 26 6e |b}{a})^2|}}$"> &n|
|000015d0| 62 73 70 3b 26 23 38 38 | 30 34 3b 20 26 6e 62 73 |bsp;&#88|04; &nbs|
|000015e0| 70 3b 3c 49 4d 47 0a 20 | 53 54 59 4c 45 3d 22 68 |p;<IMG. |STYLE="h|
|000015f0| 65 69 67 68 74 3a 20 35 | 2e 36 37 65 78 3b 20 76 |eight: 5|.67ex; v|
|00001600| 65 72 74 69 63 61 6c 2d | 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 |ertical-|align: 1|
|00001610| 37 33 2e 33 37 65 78 3b | 20 22 20 53 52 43 3d 22 |73.37ex;| " SRC="|
|00001620| 69 6d 67 31 33 2e 70 6e | 67 22 0a 20 41 4c 54 3d |img13.pn|g". ALT=|
|00001630| 22 24 5c 64 69 73 70 6c | 61 79 73 74 79 6c 65 20 |"$\displ|aystyle |
|00001640| 5c 73 71 72 74 7b 7b 32 | 7d 7d 24 22 3e 0a 3c 2f |\sqrt{{2|}}$">.</|
|00001650| 44 49 56 3e 3c 50 3e 3c | 2f 50 3e 0a 0a 3c 50 3e |DIV><P><|/P>..<P>|
|00001660| 0a 48 65 6e 63 65 2c 20 | 77 65 20 68 61 76 65 20 |.Hence, |we have |
|00001670| 74 77 6f 20 76 61 6c 75 | 65 73 20 66 6f 72 20 3c |two valu|es for <|
|00001680| 49 3e 6e 3c 2f 49 3e 2c | 0a 3c 50 3e 3c 21 2d 2d |I>n</I>,|.<P><!--|
|00001690| 20 4d 41 54 48 0a 20 5c | 62 65 67 69 6e 7b 64 69 | MATH. \|begin{di|
|000016a0| 73 70 6c 61 79 6d 61 74 | 68 7d 0a 6e 5f 6c 5c 3b |splaymat|h}.n_l\;|
|000016b0| 3d 5c 3b 20 5c 66 72 61 | 63 7b 31 2b 31 7d 7b 5c |=\; \fra|c{1+1}{\|
|000016c0| 66 72 61 63 7b 62 7d 7b | 61 7d 7d 20 5c 3b 3d 5c |frac{b}{|a}} \;=\|
|000016d0| 3b 20 5c 66 72 61 63 7b | 32 61 7d 7b 62 7d 3b 5c |; \frac{|2a}{b};\|
|000016e0| 3b 5c 3b 5c 3b 5c 3b 5c | 3b 5c 3b 5c 3b 5c 3b 5c |;\;\;\;\|;\;\;\;\|
|000016f0| 3b 5c 3b 0a 6e 5f 75 20 | 5c 3b 3d 5c 3b 20 5c 66 |;\;.n_u |\;=\; \f|
|00001700| 72 61 63 7b 31 2b 20 5c | 73 71 72 74 7b 32 7d 7d |rac{1+ \|sqrt{2}}|
|00001710| 7b 5c 66 72 61 63 7b 62 | 7d 7b 61 7d 7d 20 5c 3b |{\frac{b|}{a}} \;|
|00001720| 3d 5c 3b 20 5c 66 72 61 | 63 7b 28 31 2b 20 5c 73 |=\; \fra|c{(1+ \s|
|00001730| 71 72 74 7b 32 7d 29 61 | 7d 7b 62 7d 0a 5c 65 6e |qrt{2})a|}{b}.\en|
|00001740| 64 7b 64 69 73 70 6c 61 | 79 6d 61 74 68 7d 0a 20 |d{displa|ymath}. |
|00001750| 2d 2d 3e 0a 3c 2f 50 3e | 0a 3c 44 49 56 20 41 4c |-->.</P>|.<DIV AL|
|00001760| 49 47 4e 3d 22 43 45 4e | 54 45 52 22 3e 0a 3c 49 |IGN="CEN|TER">.<I|
|00001770| 3e 6e 3c 2f 49 3e 3c 53 | 55 42 3e 6c 3c 2f 53 55 |>n</I><S|UB>l</SU|
|00001780| 42 3e 20 26 6e 62 73 70 | 3b 20 3d 20 26 6e 62 73 |B> &nbsp|; = &nbs|
|00001790| 70 3b 3c 49 4d 47 0a 20 | 53 54 59 4c 45 3d 22 68 |p;<IMG. |STYLE="h|
|000017a0| 65 69 67 68 74 3a 20 32 | 2e 33 38 65 78 3b 20 76 |eight: 2|.38ex; v|
|000017b0| 65 72 74 69 63 61 6c 2d | 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 |ertical-|align: 1|
|000017c0| 37 34 2e 32 36 65 78 3b | 20 22 20 53 52 43 3d 22 |74.26ex;| " SRC="|
|000017d0| 69 6d 67 31 34 2e 70 6e | 67 22 0a 20 41 4c 54 3d |img14.pn|g". ALT=|
|000017e0| 22 24 5c 64 69 73 70 6c | 61 79 73 74 79 6c 65 20 |"$\displ|aystyle |
|000017f0| 7b 5c 66 72 61 63 7b 7b | 31 2b 31 7d 7d 7b 7b 5c |{\frac{{|1+1}}{{\|
|00001800| 66 72 61 63 7b 62 7d 7b | 61 7d 7d 7d 7d 24 22 3e |frac{b}{|a}}}}$">|
|00001810| 20 26 6e 62 73 70 3b 20 | 3d 20 26 6e 62 73 70 3b | &nbsp; |= &nbsp;|
|00001820| 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 | 59 4c 45 3d 22 68 65 69 |<IMG. ST|YLE="hei|
|00001830| 67 68 74 3a 20 35 2e 38 | 37 65 78 3b 20 76 65 72 |ght: 5.8|7ex; ver|
|00001840| 74 69 63 61 6c 2d 61 6c | 69 67 6e 3a 20 31 37 31 |tical-al|ign: 171|
|00001850| 2e 39 30 65 78 3b 20 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |.90ex; "| SRC="im|
|00001860| 67 31 35 2e 70 6e 67 22 | 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 |g15.png"|. ALT="$|
|00001870| 5c 64 69 73 70 6c 61 79 | 73 74 79 6c 65 20 7b 5c |\display|style {\|
|00001880| 66 72 61 63 7b 7b 32 61 | 7d 7d 7b 7b 62 7d 7d 7d |frac{{2a|}}{{b}}}|
|00001890| 24 22 3e 3b 20 26 6e 62 | 73 70 3b 20 26 6e 62 73 |$">; &nb|sp; &nbs|
|000018a0| 70 3b 20 26 6e 62 73 70 | 3b 20 26 6e 62 73 70 3b |p; &nbsp|; &nbsp;|
|000018b0| 20 26 6e 62 73 70 3b 20 | 26 6e 62 73 70 3b 20 26 | &nbsp; |&nbsp; &|
|000018c0| 6e 62 73 70 3b 20 26 6e | 62 73 70 3b 20 26 6e 62 |nbsp; &n|bsp; &nb|
|000018d0| 73 70 3b 20 26 6e 62 73 | 70 3b 3c 49 3e 6e 3c 2f |sp; &nbs|p;<I>n</|
|000018e0| 49 3e 3c 53 55 42 3e 75 | 3c 2f 53 55 42 3e 20 26 |I><SUB>u|</SUB> &|
|000018f0| 6e 62 73 70 3b 20 3d 20 | 26 6e 62 73 70 3b 3c 49 |nbsp; = |&nbsp;<I|
|00001900| 4d 47 0a 20 53 54 59 4c | 45 3d 22 68 65 69 67 68 |MG. STYL|E="heigh|
|00001910| 74 3a 20 34 2e 38 33 65 | 78 3b 20 76 65 72 74 69 |t: 4.83e|x; verti|
|00001920| 63 61 6c 2d 61 6c 69 67 | 6e 3a 20 31 37 31 2e 39 |cal-alig|n: 171.9|
|00001930| 36 65 78 3b 20 22 20 53 | 52 43 3d 22 69 6d 67 31 |6ex; " S|RC="img1|
|00001940| 36 2e 70 6e 67 22 0a 20 | 41 4c 54 3d 22 24 5c 64 |6.png". |ALT="$\d|
|00001950| 69 73 70 6c 61 79 73 74 | 79 6c 65 20 7b 5c 66 72 |isplayst|yle {\fr|
|00001960| 61 63 7b 7b 31 2b 20 5c | 73 71 72 74 7b 32 7d 7d |ac{{1+ \|sqrt{2}}|
|00001970| 7d 7b 7b 5c 66 72 61 63 | 7b 62 7d 7b 61 7d 7d 7d |}{{\frac|{b}{a}}}|
|00001980| 7d 24 22 3e 20 26 6e 62 | 73 70 3b 20 3d 20 26 6e |}$"> &nb|sp; = &n|
|00001990| 62 73 70 3b 3c 49 4d 47 | 0a 20 53 54 59 4c 45 3d |bsp;<IMG|. STYLE=|
|000019a0| 22 68 65 69 67 68 74 3a | 20 36 2e 32 39 65 78 3b |"height:| 6.29ex;|
|000019b0| 20 76 65 72 74 69 63 61 | 6c 2d 61 6c 69 67 6e 3a | vertica|l-align:|
|000019c0| 20 31 37 31 2e 33 34 65 | 78 3b 20 22 20 53 52 43 | 171.34e|x; " SRC|
|000019d0| 3d 22 69 6d 67 31 37 2e | 70 6e 67 22 0a 20 41 4c |="img17.|png". AL|
|000019e0| 54 3d 22 24 5c 64 69 73 | 70 6c 61 79 73 74 79 6c |T="$\dis|playstyl|
|000019f0| 65 20 7b 5c 66 72 61 63 | 7b 7b 28 31 2b 20 5c 73 |e {\frac|{{(1+ \s|
|00001a00| 71 72 74 7b 32 7d 29 61 | 7d 7d 7b 7b 62 7d 7d 7d |qrt{2})a|}}{{b}}}|
|00001a10| 24 22 3e 0a 3c 2f 44 49 | 56 3e 3c 50 3e 3c 2f 50 |$">.</DI|V><P></P|
|00001a20| 3e 0a 77 68 69 63 68 20 | 66 69 6e 61 6c 6c 79 20 |>.which |finally |
|00001a30| 67 69 76 65 73 20 75 73 | 20 61 20 6c 6f 77 65 72 |gives us| a lower|
|00001a40| 20 61 6e 64 20 61 6e 20 | 75 70 70 65 72 20 62 6f | and an |upper bo|
|00001a50| 75 6e 64 20 66 6f 72 20 | 3c 49 3e 63 3c 2f 49 3e |und for |<I>c</I>|
|00001a60| 2c 20 74 68 65 20 50 79 | 74 68 61 67 6f 72 65 61 |, the Py|thagorea|
|00001a70| 6e 0a 73 71 75 61 72 65 | 2d 72 6f 6f 74 2c 0a 3c |n.square|-root,.<|
|00001a80| 50 3e 3c 21 2d 2d 20 4d | 41 54 48 0a 20 5c 62 65 |P><!-- M|ATH. \be|
|00001a90| 67 69 6e 7b 64 69 73 70 | 6c 61 79 6d 61 74 68 7d |gin{disp|laymath}|
|00001aa0| 0a 61 20 2b 20 5c 66 72 | 61 63 7b 62 5e 32 7d 7b |.a + \fr|ac{b^2}{|
|00001ab0| 28 31 2b 20 5c 73 71 72 | 74 7b 32 7d 29 61 7d 20 |(1+ \sqr|t{2})a} |
|00001ac0| 5c 3b 5c 6c 65 5c 3b 20 | 63 20 5c 3b 5c 6c 65 5c |\;\le\; |c \;\le\|
|00001ad0| 3b 20 61 20 2b 20 5c 66 | 72 61 63 7b 62 5e 32 7d |; a + \f|rac{b^2}|
|00001ae0| 7b 32 61 7d 0a 5c 65 6e | 64 7b 64 69 73 70 6c 61 |{2a}.\en|d{displa|
|00001af0| 79 6d 61 74 68 7d 0a 20 | 2d 2d 3e 0a 3c 2f 50 3e |ymath}. |-->.</P>|
|00001b00| 0a 3c 44 49 56 20 41 4c | 49 47 4e 3d 22 43 45 4e |.<DIV AL|IGN="CEN|
|00001b10| 54 45 52 22 3e 0a 3c 49 | 3e 61 3c 2f 49 3e 20 2b |TER">.<I|>a</I> +|
|00001b20| 20 3c 49 4d 47 0a 20 53 | 54 59 4c 45 3d 22 68 65 | <IMG. S|TYLE="he|
|00001b30| 69 67 68 74 3a 20 35 2e | 33 32 65 78 3b 20 76 65 |ight: 5.|32ex; ve|
|00001b40| 72 74 69 63 61 6c 2d 61 | 6c 69 67 6e 3a 20 31 37 |rtical-a|lign: 17|
|00001b50| 31 2e 34 38 65 78 3b 20 | 22 20 53 52 43 3d 22 69 |1.48ex; |" SRC="i|
|00001b60| 6d 67 31 38 2e 70 6e 67 | 22 0a 20 41 4c 54 3d 22 |mg18.png|". ALT="|
|00001b70| 24 5c 64 69 73 70 6c 61 | 79 73 74 79 6c 65 20 7b |$\displa|ystyle {|
|00001b80| 5c 66 72 61 63 7b 7b 62 | 5e 32 7d 7d 7b 7b 28 31 |\frac{{b|^2}}{{(1|
|00001b90| 2b 20 5c 73 71 72 74 7b | 32 7d 29 61 7d 7d 7d 24 |+ \sqrt{|2})a}}}$|
|00001ba0| 22 3e 20 26 6e 62 73 70 | 3b 26 23 38 38 30 34 3b |"> &nbsp|;&#8804;|
|00001bb0| 20 26 6e 62 73 70 3b 3c | 49 3e 63 3c 2f 49 3e 20 | &nbsp;<|I>c</I> |
|00001bc0| 26 6e 62 73 70 3b 26 23 | 38 38 30 34 3b 20 26 6e |&nbsp;&#|8804; &n|
|00001bd0| 62 73 70 3b 3c 49 3e 61 | 3c 2f 49 3e 20 2b 20 3c |bsp;<I>a|</I> + <|
|00001be0| 49 4d 47 0a 20 53 54 59 | 4c 45 3d 22 68 65 69 67 |IMG. STY|LE="heig|
|00001bf0| 68 74 3a 20 36 2e 30 31 | 65 78 3b 20 76 65 72 74 |ht: 6.01|ex; vert|
|00001c00| 69 63 61 6c 2d 61 6c 69 | 67 6e 3a 20 31 37 31 2e |ical-ali|gn: 171.|
|00001c10| 36 39 65 78 3b 20 22 20 | 53 52 43 3d 22 69 6d 67 |69ex; " |SRC="img|
|00001c20| 31 39 2e 70 6e 67 22 0a | 20 41 4c 54 3d 22 24 5c |19.png".| ALT="$\|
|00001c30| 64 69 73 70 6c 61 79 73 | 74 79 6c 65 20 7b 5c 66 |displays|tyle {\f|
|00001c40| 72 61 63 7b 7b 62 5e 32 | 7d 7d 7b 7b 32 61 7d 7d |rac{{b^2|}}{{2a}}|
|00001c50| 7d 24 22 3e 0a 3c 2f 44 | 49 56 3e 3c 50 3e 3c 2f |}$">.</D|IV><P></|
|00001c60| 50 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a | 54 68 65 73 65 20 61 72 |P>..<P>.|These ar|
|00001c70| 65 20 76 65 72 79 20 74 | 69 67 68 74 20 62 6f 75 |e very t|ight bou|
|00001c80| 6e 64 73 2e 20 44 65 6e | 6f 74 69 6e 67 20 74 68 |nds. Den|oting th|
|00001c90| 65 20 6c 6f 77 65 72 20 | 62 6f 75 6e 64 20 61 73 |e lower |bound as|
|00001ca0| 20 3c 49 3e 63 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 42 3e 6c 3c | <I>c</I|><SUB>l<|
|00001cb0| 2f 53 55 42 3e 20 61 6e | 64 20 75 70 70 65 72 0a |/SUB> an|d upper.|
|00001cc0| 6f 6e 65 20 3c 49 3e 63 | 3c 2f 49 3e 3c 53 55 42 |one <I>c|</I><SUB|
|00001cd0| 3e 75 3c 2f 53 55 42 3e | 2c 20 62 65 6c 6f 77 20 |>u</SUB>|, below |
|00001ce0| 61 72 65 20 73 6f 6d 65 | 20 6e 75 6d 65 72 69 63 |are some| numeric|
|00001cf0| 61 6c 20 72 65 73 75 6c | 74 73 20 28 3c 49 3e 63 |al resul|ts (<I>c|
|00001d00| 3c 2f 49 3e 20 3d 20 65 | 78 61 63 74 20 73 71 75 |</I> = e|xact squ|
|00001d10| 61 72 65 2d 72 6f 6f 74 | 29 3a 0a 0a 3c 50 3e 0a |are-root|):..<P>.|
|00001d20| 3c 44 49 56 20 63 6c 61 | 73 73 3d 22 43 45 4e 54 |<DIV cla|ss="CENT|
|00001d30| 45 52 22 3e 0a 3c 54 41 | 42 4c 45 20 43 45 4c 4c |ER">.<TA|BLE CELL|
|00001d40| 50 41 44 44 49 4e 47 3d | 33 20 42 4f 52 44 45 52 |PADDING=|3 BORDER|
|00001d50| 3d 22 31 22 3e 0a 3c 54 | 52 3e 3c 54 44 20 41 4c |="1">.<T|R><TD AL|
|00001d60| 49 47 4e 3d 22 43 45 4e | 54 45 52 22 3e 61 3c 2f |IGN="CEN|TER">a</|
|00001d70| 54 44 3e 0a 3c 54 44 20 | 41 4c 49 47 4e 3d 22 43 |TD>.<TD |ALIGN="C|
|00001d80| 45 4e 54 45 52 22 3e 62 | 3c 2f 54 44 3e 0a 3c 54 |ENTER">b|</TD>.<T|
|00001d90| 44 20 41 4c 49 47 4e 3d | 22 43 45 4e 54 45 52 22 |D ALIGN=|"CENTER"|
|00001da0| 3e 63 3c 2f 54 44 3e 0a | 3c 54 44 20 41 4c 49 47 |>c</TD>.|<TD ALIG|
|00001db0| 4e 3d 22 43 45 4e 54 45 | 52 22 3e 3c 49 3e 63 3c |N="CENTE|R"><I>c<|
|00001dc0| 2f 49 3e 3c 53 55 42 3e | 6c 3c 2f 53 55 42 3e 3c |/I><SUB>|l</SUB><|
|00001dd0| 2f 54 44 3e 0a 3c 54 44 | 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 |/TD>.<TD| ALIGN="|
|00001de0| 43 45 4e 54 45 52 22 3e | 3c 49 3e 63 3c 2f 49 3e |CENTER">|<I>c</I>|
|00001df0| 3c 53 55 42 3e 75 3c 2f | 53 55 42 3e 3c 2f 54 44 |<SUB>u</|SUB></TD|
|00001e00| 3e 0a 3c 2f 54 52 3e 0a | 3c 54 52 3e 3c 54 44 20 |>.</TR>.|<TR><TD |
|00001e10| 41 4c 49 47 4e 3d 22 43 | 45 4e 54 45 52 22 3e 31 |ALIGN="C|ENTER">1|
|00001e20| 30 30 2e 30 3c 2f 54 44 | 3e 0a 3c 54 44 20 41 4c |00.0</TD|>.<TD AL|
|00001e30| 49 47 4e 3d 22 43 45 4e | 54 45 52 22 3e 31 30 30 |IGN="CEN|TER">100|
|00001e40| 2e 30 3c 2f 54 44 3e 0a | 3c 54 44 20 41 4c 49 47 |.0</TD>.|<TD ALIG|
|00001e50| 4e 3d 22 43 45 4e 54 45 | 52 22 3e 31 34 31 2e 34 |N="CENTE|R">141.4|
|00001e60| 32 31 33 3c 2f 54 44 3e | 0a 3c 54 44 20 41 4c 49 |213</TD>|.<TD ALI|
|00001e70| 47 4e 3d 22 43 45 4e 54 | 45 52 22 3e 31 34 31 2e |GN="CENT|ER">141.|
|00001e80| 34 32 31 33 3c 2f 54 44 | 3e 0a 3c 54 44 20 41 4c |4213</TD|>.<TD AL|
|00001e90| 49 47 4e 3d 22 43 45 4e | 54 45 52 22 3e 31 35 30 |IGN="CEN|TER">150|
|00001ea0| 2e 30 3c 2f 54 44 3e 0a | 3c 2f 54 52 3e 0a 3c 54 |.0</TD>.|</TR>.<T|
|00001eb0| 52 3e 3c 54 44 20 41 4c | 49 47 4e 3d 22 43 45 4e |R><TD AL|IGN="CEN|
|00001ec0| 54 45 52 22 3e 31 30 30 | 2e 30 3c 2f 54 44 3e 0a |TER">100|.0</TD>.|
|00001ed0| 3c 54 44 20 41 4c 49 47 | 4e 3d 22 43 45 4e 54 45 |<TD ALIG|N="CENTE|
|00001ee0| 52 22 3e 26 6e 62 73 70 | 3b 38 30 2e 30 3c 2f 54 |R">&nbsp|;80.0</T|
|00001ef0| 44 3e 0a 3c 54 44 20 41 | 4c 49 47 4e 3d 22 43 45 |D>.<TD A|LIGN="CE|
|00001f00| 4e 54 45 52 22 3e 31 32 | 38 2e 30 36 34 32 3c 2f |NTER">12|8.0642</|
|00001f10| 54 44 3e 0a 3c 54 44 20 | 41 4c 49 47 4e 3d 22 43 |TD>.<TD |ALIGN="C|
|00001f20| 45 4e 54 45 52 22 3e 31 | 32 36 2e 35 30 39 36 3c |ENTER">1|26.5096<|
|00001f30| 2f 54 44 3e 0a 3c 54 44 | 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 |/TD>.<TD| ALIGN="|
|00001f40| 43 45 4e 54 45 52 22 3e | 31 33 32 2e 30 3c 2f 54 |CENTER">|132.0</T|
|00001f50| 44 3e 0a 3c 2f 54 52 3e | 0a 3c 54 52 3e 3c 54 44 |D>.</TR>|.<TR><TD|
|00001f60| 20 41 4c 49 47 4e 3d 22 | 43 45 4e 54 45 52 22 3e | ALIGN="|CENTER">|
|00001f70| 26 6e 62 73 70 3b 33 30 | 2e 30 3c 2f 54 44 3e 0a |&nbsp;30|.0</TD>.|
|00001f80| 3c 54 44 20 41 4c 49 47 | 4e 3d 22 43 45 4e 54 45 |<TD ALIG|N="CENTE|
|00001f90| 52 22 3e 26 6e 62 73 70 | 3b 32 30 2e 30 3c 2f 54 |R">&nbsp|;20.0</T|
|00001fa0| 44 3e 0a 3c 54 44 20 41 | 4c 49 47 4e 3d 22 43 45 |D>.<TD A|LIGN="CE|
|00001fb0| 4e 54 45 52 22 3e 26 6e | 62 73 70 3b 33 36 2e 30 |NTER">&n|bsp;36.0|
|00001fc0| 35 35 35 3c 2f 54 44 3e | 0a 3c 54 44 20 41 4c 49 |555</TD>|.<TD ALI|
|00001fd0| 47 4e 3d 22 43 45 4e 54 | 45 52 22 3e 33 35 2e 35 |GN="CENT|ER">35.5|
|00001fe0| 32 32 38 3c 2f 54 44 3e | 0a 3c 54 44 20 41 4c 49 |228</TD>|.<TD ALI|
|00001ff0| 47 4e 3d 22 43 45 4e 54 | 45 52 22 3e 33 36 2e 36 |GN="CENT|ER">36.6|
|00002000| 36 36 37 3c 2f 54 44 3e | 0a 3c 2f 54 52 3e 0a 3c |667</TD>|.</TR>.<|
|00002010| 2f 54 41 42 4c 45 3e 0a | 3c 2f 44 49 56 3e 0a 0a |/TABLE>.|</DIV>..|
|00002020| 3c 50 3e 0a 57 69 74 68 | 20 74 68 65 20 61 62 6f |<P>.With| the abo|
|00002030| 76 65 20 62 6f 75 6e 64 | 73 2c 20 6f 6e 65 20 63 |ve bound|s, one c|
|00002040| 61 6e 20 64 6f 20 61 20 | 6c 69 6e 65 61 72 20 69 |an do a |linear i|
|00002050| 6e 74 65 72 70 6f 6c 61 | 74 69 6f 6e 20 74 6f 20 |nterpola|tion to |
|00002060| 67 65 74 20 65 78 61 63 | 74 20 76 61 6c 75 65 73 |get exac|t values|
|00002070| 2e 0a 49 6e 20 6f 75 72 | 20 63 61 73 65 2c 20 73 |..In our| case, s|
|00002080| 69 6e 63 65 20 69 74 20 | 69 73 20 6e 6f 74 20 72 |ince it |is not r|
|00002090| 65 71 75 69 72 65 64 20 | 74 6f 20 62 65 20 3c 49 |equired |to be <I|
|000020a0| 3e 65 78 74 72 65 6d 65 | 6c 79 3c 2f 49 3e 20 61 |>extreme|ly</I> a|
|000020b0| 63 63 75 72 61 74 65 2c | 20 66 6f 72 20 0a 65 73 |ccurate,| for .es|
|000020c0| 74 69 6d 61 74 69 6e 67 | 20 74 68 65 20 73 71 75 |timating| the squ|
|000020d0| 61 72 65 2d 72 6f 6f 74 | 20 69 6e 20 74 68 65 20 |are-root| in the |
|000020e0| 6c 69 6e 65 20 64 72 61 | 77 69 6e 67 20 63 6f 6d |line dra|wing com|
|000020f0| 6d 61 6e 64 73 2c 0a 77 | 65 20 73 69 6d 70 6c 79 |mands,.w|e simply|
|00002100| 20 74 61 6b 65 20 74 68 | 65 20 6d 69 64 70 6f 69 | take th|e midpoi|
|00002110| 6e 74 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 74 77 6f 20 62 6f |nt of th|e two bo|
|00002120| 75 6e 64 73 2e 20 46 6f | 72 20 73 6d 61 6c 6c 0a |unds. Fo|r small.|
|00002130| 6e 75 6d 62 65 72 73 2c | 20 77 68 69 63 68 20 69 |numbers,| which i|
|00002140| 73 20 65 78 70 65 63 74 | 65 64 20 74 6f 20 62 65 |s expect|ed to be|
|00002150| 20 74 68 65 20 63 61 73 | 65 20 6d 6f 73 74 20 6f | the cas|e most o|
|00002160| 66 20 74 68 65 20 74 69 | 6d 65 2c 0a 74 68 65 20 |f the ti|me,.the |
|00002170| 65 72 72 6f 72 20 69 73 | 20 76 65 72 79 20 73 6d |error is| very sm|
|00002180| 61 6c 6c 2e 0a 0a 3c 50 | 3e 0a 57 69 74 68 20 73 |all...<P|>.With s|
|00002190| 6f 6d 65 20 61 6c 67 65 | 62 72 61 2c 20 77 65 20 |ome alge|bra, we |
|000021a0| 67 65 74 20 74 68 65 20 | 6d 69 64 2d 70 6f 69 6e |get the |mid-poin|
|000021b0| 74 20 65 73 74 69 6d 61 | 74 65 20 6f 66 20 3c 49 |t estima|te of <I|
|000021c0| 3e 63 3c 2f 49 3e 2c 0a | 3c 50 3e 3c 21 2d 2d 20 |>c</I>,.|<P><!-- |
|000021d0| 4d 41 54 48 0a 20 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 64 69 73 |MATH. \b|egin{dis|
|000021e0| 70 6c 61 79 6d 61 74 68 | 7d 0a 63 20 3d 20 5c 66 |playmath|}.c = \f|
|000021f0| 72 61 63 7b 63 5f 6c 2b | 63 5f 75 7d 7b 32 7d 20 |rac{c_l+|c_u}{2} |
|00002200| 3d 20 61 20 2b 20 5c 66 | 72 61 63 7b 62 5e 32 20 |= a + \f|rac{b^2 |
|00002210| 2a 20 28 33 20 2b 20 5c | 73 71 72 74 7b 32 7d 29 |* (3 + \|sqrt{2})|
|00002220| 7d 7b 61 2a 34 2a 28 31 | 20 2b 20 5c 73 71 72 74 |}{a*4*(1| + \sqrt|
|00002230| 7b 32 7d 29 7d 0a 3d 20 | 61 20 2b 20 5c 66 72 61 |{2})}.= |a + \fra|
|00002240| 63 7b 30 2e 34 35 37 5c | 3a 20 62 5e 32 7d 7b 61 |c{0.457\|: b^2}{a|
|00002250| 7d 20 5c 3b 5c 3b 5c 3b | 5c 3b 28 61 20 5c 67 65 |} \;\;\;|\;(a \ge|
|00002260| 20 62 29 0a 5c 65 6e 64 | 7b 64 69 73 70 6c 61 79 | b).\end|{display|
|00002270| 6d 61 74 68 7d 0a 20 2d | 2d 3e 0a 3c 2f 50 3e 0a |math}. -|->.</P>.|
|00002280| 3c 44 49 56 20 41 4c 49 | 47 4e 3d 22 43 45 4e 54 |<DIV ALI|GN="CENT|
|00002290| 45 52 22 3e 0a 3c 49 3e | 63 3c 2f 49 3e 20 3d 20 |ER">.<I>|c</I> = |
|000022a0| 3c 49 4d 47 0a 20 53 54 | 59 4c 45 3d 22 68 65 69 |<IMG. ST|YLE="hei|
|000022b0| 67 68 74 3a 20 35 2e 31 | 38 65 78 3b 20 76 65 72 |ght: 5.1|8ex; ver|
|000022c0| 74 69 63 61 6c 2d 61 6c | 69 67 6e 3a 20 31 37 32 |tical-al|ign: 172|
|000022d0| 2e 35 33 65 78 3b 20 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |.53ex; "| SRC="im|
|000022e0| 67 32 30 2e 70 6e 67 22 | 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 |g20.png"|. ALT="$|
|000022f0| 5c 64 69 73 70 6c 61 79 | 73 74 79 6c 65 20 7b 5c |\display|style {\|
|00002300| 66 72 61 63 7b 7b 63 5f | 6c 2b 63 5f 75 7d 7d 7b |frac{{c_|l+c_u}}{|
|00002310| 7b 32 7d 7d 7d 24 22 3e | 20 3d 20 3c 49 3e 61 3c |{2}}}$">| = <I>a<|
|00002320| 2f 49 3e 20 2b 20 3c 49 | 4d 47 0a 20 53 54 59 4c |/I> + <I|MG. STYL|
|00002330| 45 3d 22 68 65 69 67 68 | 74 3a 20 34 2e 35 35 65 |E="heigh|t: 4.55e|
|00002340| 78 3b 20 76 65 72 74 69 | 63 61 6c 2d 61 6c 69 67 |x; verti|cal-alig|
|00002350| 6e 3a 20 31 37 32 2e 33 | 32 65 78 3b 20 22 20 53 |n: 172.3|2ex; " S|
|00002360| 52 43 3d 22 69 6d 67 32 | 31 2e 70 6e 67 22 0a 20 |RC="img2|1.png". |
|00002370| 41 4c 54 3d 22 24 5c 64 | 69 73 70 6c 61 79 73 74 |ALT="$\d|isplayst|
|00002380| 79 6c 65 20 7b 5c 66 72 | 61 63 7b 7b 62 5e 32 20 |yle {\fr|ac{{b^2 |
|00002390| 2a 20 28 33 20 2b 20 5c | 73 71 72 74 7b 32 7d 29 |* (3 + \|sqrt{2})|
|000023a0| 7d 7d 7b 7b 61 2a 34 2a | 28 31 20 2b 20 5c 73 71 |}}{{a*4*|(1 + \sq|
|000023b0| 72 74 7b 32 7d 29 7d 7d | 7d 24 22 3e 20 3d 20 3c |rt{2})}}|}$"> = <|
|000023c0| 49 3e 61 3c 2f 49 3e 20 | 2b 20 3c 49 4d 47 0a 20 |I>a</I> |+ <IMG. |
|000023d0| 53 54 59 4c 45 3d 22 68 | 65 69 67 68 74 3a 20 36 |STYLE="h|eight: 6|
|000023e0| 2e 31 35 65 78 3b 20 76 | 65 72 74 69 63 61 6c 2d |.15ex; v|ertical-|
|000023f0| 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 | 37 31 2e 34 38 65 78 3b |align: 1|71.48ex;|
|00002400| 20 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 32 32 2e 70 6e | " SRC="|img22.pn|
|00002410| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 24 5c 64 69 73 70 6c |g". ALT=|"$\displ|
|00002420| 61 79 73 74 79 6c 65 20 | 7b 5c 66 72 61 63 7b 7b |aystyle |{\frac{{|
|00002430| 30 2e 34 35 37 5c 3a 20 | 62 5e 32 7d 7d 7b 7b 61 |0.457\: |b^2}}{{a|
|00002440| 7d 7d 7d 24 22 3e 20 26 | 6e 62 73 70 3b 20 26 6e |}}}$"> &|nbsp; &n|
|00002450| 62 73 70 3b 20 26 6e 62 | 73 70 3b 20 26 6e 62 73 |bsp; &nb|sp; &nbs|
|00002460| 70 3b 28 3c 49 3e 61 3c | 2f 49 3e 26 23 38 38 30 |p;(<I>a<|/I>&#880|
|00002470| 35 3b 3c 49 3e 62 3c 2f | 49 3e 29 0a 3c 2f 44 49 |5;<I>b</|I>).</DI|
|00002480| 56 3e 3c 50 3e 3c 2f 50 | 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a 54 |V><P></P|>..<P>.T|
|00002490| 68 65 20 6d 61 63 72 6f | 20 3c 63 6f 64 65 3e 5c |he macro| <code>\|
|000024a0| 73 71 72 74 61 6e 64 73 | 74 75 66 66 3c 2f 63 6f |sqrtands|tuff</co|
|000024b0| 64 65 3e 20 75 73 65 73 | 20 74 68 65 20 61 62 6f |de> uses| the abo|
|000024c0| 76 65 20 66 6f 72 6d 75 | 6c 61 20 66 6f 72 20 65 |ve formu|la for e|
|000024d0| 73 74 69 6d 61 74 69 6e | 67 20 74 68 65 0a 6e 75 |stimatin|g the.nu|
|000024e0| 6d 62 65 72 20 6f 66 20 | 70 6f 69 6e 74 73 20 28 |mber of |points (|
|000024f0| 66 6f 72 20 3c 63 6f 64 | 65 3e 5c 64 6f 74 74 65 |for <cod|e>\dotte|
|00002500| 64 6c 69 6e 65 3c 2f 63 | 6f 64 65 3e 20 6d 61 63 |dline</c|ode> mac|
|00002510| 72 6f 29 20 61 6e 64 20 | 6e 75 6d 62 65 72 20 6f |ro) and |number o|
|00002520| 66 20 73 65 67 6d 65 6e | 74 73 20 28 66 6f 72 0a |f segmen|ts (for.|
|00002530| 3c 63 6f 64 65 3e 5c 64 | 61 73 68 6c 69 6e 65 3c |<code>\d|ashline<|
|00002540| 2f 63 6f 64 65 3e 20 6d | 61 63 72 6f 29 2e 20 54 |/code> m|acro). T|
|00002550| 68 65 20 3c 63 6f 64 65 | 3e 5c 73 71 72 74 61 6e |he <code|>\sqrtan|
|00002560| 64 73 74 75 66 66 3c 2f | 63 6f 64 65 3e 20 6d 61 |dstuff</|code> ma|
|00002570| 63 72 6f 2c 20 69 6e 73 | 74 65 61 64 20 6f 66 0a |cro, ins|tead of.|
|00002580| 63 61 6c 63 75 6c 61 74 | 69 6e 67 20 74 68 65 20 |calculat|ing the |
|00002590| 6c 65 6e 67 74 68 20 6f | 66 20 74 68 65 20 6c 69 |length o|f the li|
|000025a0| 6e 65 2c 20 64 69 72 65 | 63 74 6c 79 20 63 61 6c |ne, dire|ctly cal|
|000025b0| 63 75 6c 61 74 65 73 20 | 74 68 65 20 3c 49 3e 6e |culates |the <I>n|
|000025c0| 75 6d 62 65 72 3c 2f 49 | 3e 20 6f 66 0a 73 65 67 |umber</I|> of.seg|
|000025d0| 6d 65 6e 74 73 20 6f 66 | 20 61 20 67 69 76 65 6e |ments of| a given|
|000025e0| 20 6c 65 6e 67 74 68 2e | 20 46 6f 72 20 65 78 61 | length.| For exa|
|000025f0| 6d 70 6c 65 2c 20 74 6f | 20 64 72 61 77 20 61 20 |mple, to| draw a |
|00002600| 64 6f 74 74 65 64 20 6c | 69 6e 65 20 66 72 6f 6d |dotted l|ine from|
|00002610| 0a 28 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 3c 53 55 42 3e 31 |.(<I>x</|I><SUB>1|
|00002620| 3c 2f 53 55 42 3e 2c 20 | 3c 49 3e 79 3c 2f 49 3e |</SUB>, |<I>y</I>|
|00002630| 3c 53 55 42 3e 31 3c 2f | 53 55 42 3e 29 20 74 6f |<SUB>1</|SUB>) to|
|00002640| 20 28 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 3c 53 55 42 3e 32 | (<I>x</|I><SUB>2|
|00002650| 3c 2f 53 55 42 3e 2c 20 | 3c 49 3e 79 3c 2f 49 3e |</SUB>, |<I>y</I>|
|00002660| 3c 53 55 42 3e 32 3c 2f | 53 55 42 3e 29 20 77 69 |<SUB>2</|SUB>) wi|
|00002670| 74 68 20 74 68 65 20 69 | 6e 74 65 72 2d 64 6f 74 |th the i|nter-dot|
|00002680| 2d 67 61 70 20 61 73 20 | 3c 49 3e 64 3c 2f 49 3e |-gap as |<I>d</I>|
|00002690| 2c 20 77 65 20 65 73 74 | 69 6d 61 74 65 20 74 68 |, we est|imate th|
|000026a0| 65 0a 6e 75 6d 62 65 72 | 20 6f 66 20 64 6f 74 73 |e.number| of dots|
|000026b0| 20 3c 49 3e 6e 3c 2f 49 | 3e 20 75 73 69 6e 67 20 | <I>n</I|> using |
|000026c0| 74 68 65 20 66 6f 6c 6c | 6f 77 69 6e 67 20 65 78 |the foll|owing ex|
|000026d0| 70 72 65 73 73 69 6f 6e | 2c 0a 3c 50 3e 3c 21 2d |pression|,.<P><!-|
|000026e0| 2d 20 4d 41 54 48 0a 20 | 5c 62 65 67 69 6e 7b 64 |- MATH. |\begin{d|
|000026f0| 69 73 70 6c 61 79 6d 61 | 74 68 7d 0a 6e 3d 20 5c |isplayma|th}.n= \|
|00002700| 66 72 61 63 7b 5c 44 65 | 6c 74 61 20 78 7d 7b 64 |frac{\De|lta x}{d|
|00002710| 7d 20 2b 0a 5c 66 72 61 | 63 7b 30 2e 34 35 37 5c |} +.\fra|c{0.457\|
|00002720| 3a 28 5c 66 72 61 63 7b | 5c 44 65 6c 74 61 20 79 |:(\frac{|\Delta y|
|00002730| 7d 7b 64 7d 29 5e 32 7d | 7b 5c 66 72 61 63 7b 5c |}{d})^2}|{\frac{\|
|00002740| 44 65 6c 74 61 20 78 7d | 7b 64 7d 7d 20 5c 3b 5c |Delta x}|{d}} \;\|
|00002750| 3b 5c 3b 5c 3b 5c 3b 5c | 3b 5c 3b 0a 5c 44 65 6c |;\;\;\;\|;\;.\Del|
|00002760| 74 61 20 78 20 3d 20 7c | 78 5f 32 20 2d 20 78 5f |ta x = ||x_2 - x_|
|00002770| 31 7c 20 5c 6d 62 6f 78 | 7b 20 61 6e 64 20 7d 20 |1| \mbox|{ and } |
|00002780| 5c 44 65 6c 74 61 20 79 | 20 3d 20 7c 79 5f 32 20 |\Delta y| = |y_2 |
|00002790| 2d 20 79 5f 31 7c 0a 5c | 65 6e 64 7b 64 69 73 70 |- y_1|.\|end{disp|
|000027a0| 6c 61 79 6d 61 74 68 7d | 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 2f |laymath}|. -->.</|
|000027b0| 50 3e 0a 3c 44 49 56 20 | 41 4c 49 47 4e 3d 22 43 |P>.<DIV |ALIGN="C|
|000027c0| 45 4e 54 45 52 22 3e 0a | 3c 49 3e 6e 3c 2f 49 3e |ENTER">.|<I>n</I>|
|000027d0| 20 3d 20 3c 49 4d 47 0a | 20 53 54 59 4c 45 3d 22 | = <IMG.| STYLE="|
|000027e0| 68 65 69 67 68 74 3a 20 | 35 2e 31 38 65 78 3b 20 |height: |5.18ex; |
|000027f0| 76 65 72 74 69 63 61 6c | 2d 61 6c 69 67 6e 3a 20 |vertical|-align: |
|00002800| 31 37 32 2e 35 33 65 78 | 3b 20 22 20 53 52 43 3d |172.53ex|; " SRC=|
|00002810| 22 69 6d 67 32 33 2e 70 | 6e 67 22 0a 20 41 4c 54 |"img23.p|ng". ALT|
|00002820| 3d 22 24 5c 64 69 73 70 | 6c 61 79 73 74 79 6c 65 |="$\disp|laystyle|
|00002830| 20 7b 5c 66 72 61 63 7b | 7b 5c 44 65 6c 74 61 20 | {\frac{|{\Delta |
|00002840| 78 7d 7d 7b 7b 64 7d 7d | 7d 24 22 3e 20 2b 20 3c |x}}{{d}}|}$"> + <|
|00002850| 49 4d 47 0a 20 53 54 59 | 4c 45 3d 22 68 65 69 67 |IMG. STY|LE="heig|
|00002860| 68 74 3a 20 34 2e 39 37 | 65 78 3b 20 76 65 72 74 |ht: 4.97|ex; vert|
|00002870| 69 63 61 6c 2d 61 6c 69 | 67 6e 3a 20 31 37 31 2e |ical-ali|gn: 171.|
|00002880| 38 33 65 78 3b 20 22 20 | 53 52 43 3d 22 69 6d 67 |83ex; " |SRC="img|
|00002890| 32 34 2e 70 6e 67 22 0a | 20 41 4c 54 3d 22 24 5c |24.png".| ALT="$\|
|000028a0| 64 69 73 70 6c 61 79 73 | 74 79 6c 65 20 7b 5c 66 |displays|tyle {\f|
|000028b0| 72 61 63 7b 7b 30 2e 34 | 35 37 5c 3a 28 5c 66 72 |rac{{0.4|57\:(\fr|
|000028c0| 61 63 7b 5c 44 65 6c 74 | 61 20 79 7d 7b 64 7d 29 |ac{\Delt|a y}{d})|
|000028d0| 5e 32 7d 7d 7b 7b 5c 66 | 72 61 63 7b 5c 44 65 6c |^2}}{{\f|rac{\Del|
|000028e0| 74 61 20 78 7d 7b 64 7d | 7d 7d 7d 24 22 3e 20 26 |ta x}{d}|}}}$"> &|
|000028f0| 6e 62 73 70 3b 20 26 6e | 62 73 70 3b 20 26 6e 62 |nbsp; &n|bsp; &nb|
|00002900| 73 70 3b 20 26 6e 62 73 | 70 3b 20 26 6e 62 73 70 |sp; &nbs|p; &nbsp|
|00002910| 3b 20 26 6e 62 73 70 3b | 20 26 6e 62 73 70 3b 3c |; &nbsp;| &nbsp;<|
|00002920| 49 3e 26 23 39 31 36 3b | 78 3c 2f 49 3e 20 3d 20 |I>&#916;|x</I> = |
|00002930| 7c 20 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 3c 53 55 42 3e 32 || <I>x</|I><SUB>2|
|00002940| 3c 2f 53 55 42 3e 20 2d | 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |</SUB> -| <I>x</I|
|00002950| 3e 3c 53 55 42 3e 31 3c | 2f 53 55 42 3e 7c 20 61 |><SUB>1<|/SUB>| a|
|00002960| 6e 64 20 3c 49 3e 26 23 | 39 31 36 3b 79 3c 2f 49 |nd <I>&#|916;y</I|
|00002970| 3e 20 3d 20 7c 20 3c 49 | 3e 79 3c 2f 49 3e 3c 53 |> = | <I|>y</I><S|
|00002980| 55 42 3e 32 3c 2f 53 55 | 42 3e 20 2d 20 3c 49 3e |UB>2</SU|B> - <I>|
|00002990| 79 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | 42 3e 31 3c 2f 53 55 42 |y</I><SU|B>1</SUB|
|000029a0| 3e 7c 0a 3c 2f 44 49 56 | 3e 3c 50 3e 3c 2f 50 3e |>|.</DIV|><P></P>|
|000029b0| 0a 61 73 73 75 6d 69 6e | 67 20 3c 21 2d 2d 20 4d |.assumin|g <!-- M|
|000029c0| 41 54 48 0a 20 24 5c 44 | 65 6c 74 61 20 78 20 5c |ATH. $\D|elta x \|
|000029d0| 67 65 20 5c 44 65 6c 74 | 61 20 79 24 0a 20 2d 2d |ge \Delt|a y$. --|
|000029e0| 3e 0a 3c 49 3e 26 23 39 | 31 36 3b 78 3c 2f 49 3e |>.<I>&#9|16;x</I>|
|000029f0| 26 23 38 38 30 35 3b 3c | 49 3e 26 23 39 31 36 3b |&#8805;<|I>&#916;|
|00002a00| 79 3c 2f 49 3e 20 28 6f | 74 68 65 72 77 69 73 65 |y</I> (o|therwise|
|00002a10| 20 74 68 65 79 20 6d 61 | 79 20 62 65 20 69 6e 74 | they ma|y be int|
|00002a20| 65 72 2d 63 68 61 6e 67 | 65 64 29 2e 0a 0a 3c 50 |er-chang|ed)...<P|
|00002a30| 3e 0a 4e 6f 74 65 20 74 | 68 61 74 20 73 69 6e 63 |>.Note t|hat sinc|
|00002a40| 65 20 64 69 76 69 73 69 | 6f 6e 73 20 69 6e 20 54 |e divisi|ons in T|
|00002a50| 3c 53 4d 41 4c 4c 3e 45 | 3c 2f 53 4d 41 4c 4c 3e |<SMALL>E|</SMALL>|
|00002a60| 58 20 61 72 65 20 69 6e | 74 65 67 65 72 2d 64 69 |X are in|teger-di|
|00002a70| 76 69 73 69 6f 6e 73 2c | 20 69 74 20 69 73 20 73 |visions,| it is s|
|00002a80| 69 6d 70 6c 65 72 20 74 | 6f 0a 64 65 61 6c 20 69 |impler t|o.deal i|
|00002a90| 6e 20 60 60 6e 75 6d 62 | 65 72 20 6f 66 20 73 65 |n ``numb|er of se|
|00002aa0| 67 6d 65 6e 74 73 27 27 | 20 72 61 74 68 65 72 20 |gments''| rather |
|00002ab0| 74 68 61 6e 20 61 63 74 | 75 61 6c 20 6c 65 6e 67 |than act|ual leng|
|00002ac0| 74 68 73 0a 28 65 2e 67 | 2e 20 69 6e 20 74 68 65 |ths.(e.g|. in the|
|00002ad0| 20 65 78 70 72 65 73 73 | 69 6f 6e 20 61 62 6f 76 | express|ion abov|
|00002ae0| 65 2c 20 3c 21 2d 2d 20 | 4d 41 54 48 0a 20 24 5c |e, <!-- |MATH. $\|
|00002af0| 66 72 61 63 7b 5c 44 65 | 6c 74 61 20 78 7d 7b 64 |frac{\De|lta x}{d|
|00002b00| 7d 20 3d 24 0a 20 2d 2d | 3e 0a 3c 49 4d 47 0a 20 |} =$. --|>.<IMG. |
|00002b10| 53 54 59 4c 45 3d 22 68 | 65 69 67 68 74 3a 20 36 |STYLE="h|eight: 6|
|00002b20| 2e 35 37 65 78 3b 20 76 | 65 72 74 69 63 61 6c 2d |.57ex; v|ertical-|
|00002b30| 61 6c 69 67 6e 3a 20 31 | 37 31 2e 39 33 65 78 3b |align: 1|71.93ex;|
|00002b40| 20 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 32 35 2e 70 6e | " SRC="|img25.pn|
|00002b50| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 24 7b 5c 66 72 61 63 |g". ALT=|"${\frac|
|00002b60| 7b 7b 5c 44 65 6c 74 61 | 20 78 7d 7d 7b 7b 64 7d |{{\Delta| x}}{{d}|
|00002b70| 7d 7d 24 22 3e 20 3d 20 | 6e 75 6d 62 65 72 20 6f |}}$"> = |number o|
|00002b80| 66 20 73 65 67 6d 65 6e | 74 73 0a 61 6c 6f 6e 67 |f segmen|ts.along|
|00002b90| 20 58 2d 61 78 69 73 29 | 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a 0a | X-axis)|...<P>..|
|00002ba0| 3c 42 3e 43 61 76 65 61 | 74 3a 3c 2f 42 3e 20 54 |<B>Cavea|t:</B> T|
|00002bb0| 68 65 20 61 70 70 72 6f | 61 63 68 20 70 72 65 73 |he appro|ach pres|
|00002bc0| 65 6e 74 65 64 20 68 65 | 72 65 20 66 6f 72 20 65 |ented he|re for e|
|00002bd0| 73 74 69 6d 61 74 69 6f | 6e 20 6f 66 0a 50 79 74 |stimatio|n of.Pyt|
|00002be0| 68 61 67 6f 72 65 61 6e | 20 73 71 75 61 72 65 2d |hagorean| square-|
|00002bf0| 72 6f 6f 74 20 69 73 20 | 61 6e 20 69 6e 64 65 70 |root is |an indep|
|00002c00| 65 6e 64 65 6e 74 20 65 | 66 66 6f 72 74 20 62 79 |endent e|ffort by|
|00002c10| 20 74 68 65 20 61 75 74 | 68 6f 72 2e 20 49 74 20 | the aut|hor. It |
|00002c20| 6d 61 79 0a 61 6c 72 65 | 61 64 79 20 65 78 69 73 |may.alre|ady exis|
|00002c30| 74 20 69 6e 20 74 68 65 | 20 6c 69 74 65 72 61 74 |t in the| literat|
|00002c40| 75 72 65 20 26 6d 64 61 | 73 68 3b 20 74 68 65 20 |ure &mda|sh; the |
|00002c50| 61 75 74 68 6f 72 20 69 | 73 20 6e 65 69 74 68 65 |author i|s neithe|
|00002c60| 72 20 61 77 61 72 65 20 | 6f 66 20 69 74 20 6e 6f |r aware |of it no|
|00002c70| 72 20 68 61 73 0a 68 65 | 20 6d 61 64 65 20 61 6e |r has.he| made an|
|00002c80| 79 20 73 65 72 69 6f 75 | 73 20 61 74 74 65 6d 70 |y seriou|s attemp|
|00002c90| 74 73 20 61 74 20 75 6e | 63 6f 76 65 72 69 6e 67 |ts at un|covering|
|00002ca0| 20 69 74 2e 0a 0a 3c 48 | 52 3e 0a 0a 3c 2f 42 4f | it...<H|R>..</BO|
|00002cb0| 44 59 3e 0a 3c 2f 48 54 | 4d 4c 3e 0a |DY>.</HT|ML>. |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+